• u（x，y，z）满足：
1、 在闭域Ω＋Г(Ω)上连续； 2、 在Ω内有二阶连续偏导数；
2 2 2 u u u 3、 满足拉普拉斯方程 2u 2 2 0 2 x y z 4、 u f
调和函数
• 具有两阶连续偏导数的且满足拉普拉斯方程
的连续函数
• 狄氏问题就是在Ω内找到一个调和函数u，且
已经学过的偏微分方程解法
• 行波法
• 分离变量法
• 特征函数法 • 积分变换法 • 冲量法 • 转换法
• 特解法
分离变量法 2 2类边界条件的振动、热传导及矩形域拉氏问题
n 2 特征值n ( ) 0特征函数 l n 0,1, 2,....
2 n
n X n ( x) cos x l n 0,1, 2....

K M0

1 1 v ln ln r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2

1 1 1 u ( M ) u(M 0 ) u ( M ) (ln ) (ln ) ]ds 2 n rM 0 M rM 0 M n
rM 0 M ( x x0 )2 ( y y0 )2
0
1 1 u( M ) [u( M ) ( ) ]dS 4 u( M 0 ) n rM0 M rM0 M n
调和函数的积分表达式
1 u(M 0 ) 4 1 1 u ( M ) [u ( M ) ( ) ]dS n rM 0 M rM 0 M n
点M0到点M的距离
调和函数的边值性质
v u (u v v u )dV (u v )dS n n u 取u为调和函数，V＝1，则 dS 0 n
2 2
牛曼内问题有解的必要条件为，f满足


f dS 0
充分必要条件
平均值公式
拉普拉斯方程解的唯一性
r (r r )0
x
P

y
三维空间拉氏方程的基本解
求解得
C1 u C2 r
1 u (r 0) r
拉普拉斯方程的基本解
• 2 二维平面的拉氏方程基本解
与三维问题类似，首先建立极坐标系下的二维拉氏方程
) 求其圆对称解 u u (r（解只 与半径有关，与角度无关）可得到
平面拉氏方程的基本解 求解得
P Q R dV x y z dS P cos( n , x ) Q cos( n , y ) R cos( n , z )

v (u v)dV ( gradu gradv)dV u dS n
u

f
第二边值问题（牛曼问题）
• 在某光滑的闭曲面Г上给定了连续函数f， • u（x，y，z）满足：
1、在Г内部的区域Ω中是调和函数；
2、在闭域Ω＋Г上连续； 3、在Г上任一点处的法向导数存在，且
u n

f
内问题
• 在边界上给定某些边界条件，在区域内
部求拉普拉斯方程的解
狄氏问题 牛曼问题
域内点M0的值可以用边界上的条件求得
调和函数在区域内任一点的值用调和函数及其 在区域边界处的法向导数沿边界的积分来描述
对于泊松方程
F
域内点M0的值可以用边界上的条件求得
二维平面调和函数的积分表达式


(u v v u )dS
2 2
v u (u v )ds n n
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
1 2 u 1 u 1 u ( r ) (sin ) 0 2 2 2 2 2 r r r r sin r sin
2
z

A
x
r

M ( x, y, z )
z
o

y
求其球对称解 u u (r（解只 与r有关，与角度无 ) 关）可得到 2 u
外问题
• 在区域外部求调和函数且满足边界条件 • 在求解外问题时，常常附加一下条件：
lim u( x, y, z ) 0
r
r x y z
2 2
2
lim u 0 有界 r
r x2 y 2
狄氏外问题（以三维空间为例）
牛曼外问题
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
（4.5）
要解决拉普拉斯方程的狄氏或牛曼问题，需
u 要把 n
或u消去，引入格林函数的概念。
格林函数
在第二格林公式中，取u，v均为Ω内的调和函数， 且在Ω＋Г上有连续的一阶偏导数，则得到 v u 2 2 (u v v u )dV (u v )dS n n
2
v (u v)dS u ds ( gradu gradv)dS n v u 2 2 ( u v v u ) dS ( u v ) ds n n
2
平面域
调和函数的基本性质
• 调和函数的积分表达式
研究调和函数在区域内任一点M0点的值

(4.1)
边界 外法向的方向余弦
格林公式
• 设 u ( x, y , z ) ， v( x, y, z ) 在 具有一阶连续
偏导数，在 内具有连续的二阶偏导数
v v v P u ,Q u , R u x y z
格林公式
v v v P u ,Q u , R u x y z
u (c0 d0 y ) (cn e n y d n e n y ) cos n x
n 1
分离变量法 2 2类边界条件的（环）扇形域拉氏问题
特征值 n (
n
) Βιβλιοθήκη 02特征函数 n ( ) cos
n


n 0,1, 2,....
扇形域拉氏问题
u C1 ln r C2
1 u ln (r 0) r
• 三维拉普拉斯方程的基本解
1 1 v r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
• 二维拉普拉斯方程的基本解
1 1 v ln ln r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2

v 1 1 1 u u[ ( )] ( v) n 4 n rM 0 M 4 rM 0 M n
dS
1 u u ( M 0 ) ( v) dS Gf dS 4 rM 0 M n
格林函数
定义 G( M , M 0 )
1 G ( M , M 0 ) 4 r MM 0 G(M , M 0 ) 0
2 2
1 ( ) 1 u r u dS n r n
1 1 ( ) ( ) r r 1 n r 2
1 ( ) 1 2 1 u 2 1 r (u u )dV u dS r r n r n K
n 0,1, 2....
扇环域拉氏问题
数理方程中的定解问题反映了物理现象中一种 特定的场和产生这种场的源之间的关系。
如果能够找到一个点源所产生的场，利 用叠加的方法就可以算出任意源的场
格林函数
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
• §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
• §4.2 格林公式
• §4.3 格林函数 • §4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏
空间域 v
1 1 v G ( M , M 0 ) 2 ln r MM 0 G(M , M 0 ) 0
平面域
拉普拉斯方程的格林函数
2
v (u v)dV u dS ( gradu gradv)dV n
2
(4.2)
第一格林公式
格林公式
• 将（4.2）中的u，v交换位置，得到
u (v u )dV v dS ( gradv gradu )dV n
u v 0 (v u )dS n n
（4.6）
1 u(M 0 ) 4
1 1 u ( M ) [u ( M ) ( ) ]dS n rM 0 M rM 0 M n
（4.5）
格林函数
（4.5）－（ 4.6 ）得到： v 1 1 1 u u ( M 0 ) u[ ( )] ( v) n 4 n rM 0 M 4 rM 0 M n
2
(4.3)
（4.2）与（4.3）相减，得到
v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
(4.4)
第二格林公式
格林公式
v (u v)dV u dS ( gradu gradv)dV n 空间 域 v u 2 2 (u v v u )dV (u v )dS n n
4.2 格林公式
• 奥－高公式

Q( x, y, z )
P ( x, y , z ) Q ( x , y , z ) R ( x, y , z )
在 上连续，在 内具有

一阶连续偏导数
P Q R dV x y z dS P cos( n , x ) Q cos( n , y ) R cos( n , z )
1 v 4 rM 0 M
dS

1 u ( M 0 ) u ( v)dS n 4 rM 0 M
对狄氏问题
1 G(M , M 0 ) v 4 rM 0 M
u ( M 0 )

G f dS n