1)(k 2)ak 2 2 ak 0
(k 1)(k 2)ak 2 2 ak 0
得到：
a2 a4
2
2!
a0 , a2
a3
2
3!
a1 , a3

2

4
43
4!
a0 ,
a5
2
5 4
4
5!
a1 ,
a2 k (1) k
得：
c4
c2
l (l 1) c0 2!
c2 k
(2 l )(l 3) (2 l )(l 3) ( l )(l 1) c2 c0 43 43 2 1 (2 l )( l )(l 1)(l 3) c0 4!
(2k l 2)(2k l 1) c2 k 2 2k (2k 1) (2k l 2)(2k l 4)(2k l 1)(2k l 3) c2 k 4 2k (2k 1)(2k 2)(2k 3) c ... 0 (2k 2 l )(2k 4 l )...(2 l )(l ) (2k )! (l 1)(l 3)...(l 2k 1)

通过这个实例，可以看出在常点邻域内求级数解的一般步骤： • 将（方程常点邻域内的）解展开为泰勒级数，代入微分方程；
• 将相同幂次项的系数归并，比较系数，得到系数之间的递推关系；
• 反复利用递推关系，求出系数 后得出级数解。
ck 的普遍表达式（用 c0 和 c1 表示），从而最

2 '' ' 求勒让德方程 (1 x ) y 2xy l (l 1) y 0 在x=0点邻域 内的解，其中l是一个参数。
2 '' '
在有限远处的奇点为： x
1

方程常点邻域内的级数解法
定理
如果p(x)，q(x)在圆 x x0 R 内解析，则在此圆内常微分方程初值问题
' y'' p( x) y' q( x) y 0, y( x0 ) c0 , y ( x0 ) c1 (c0 , c1为任意常数)
n k



bl ( x x0 )l cn ( x x0 )n 0
l 0 n 0
n 0

k 0
n 0
cn 2 (n 2)(n 1)( x x0 )n ak ( x x0 )k cn1 (n 1)( x x0 )n bl ( x x0 )l cn ( x x0 )n 0
设方程的解为
y( x) cn ( x x0 ) n
n 0

将 p( x) 和 q( x) 也展开为泰勒级数：
p( x) ak ( x x0 )
k 0

k
q( x) bl ( x x0 )l
l 0

代入方程 有：

y'' p( x) y' q( x) y 0,
n
n 0 k 0
比较等式两边
x x0
同次幂的系数有：
n n
(n 2)(n 1)cn 2 (k 1)ank ck 1 bnk ck 0 (n 0,1, 2,)
k 0 k 0
由此可知
cn 可以由初值 c0 , c1 以及 ak , bk 表示出来，如：
例3：在
x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
解： 这里
p( x) 0,
q( x) 2
设解为 则
y( x) a0 a1 x a2 x 2 ak x k
y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak 1 x k
二阶常微分方程的级数解法 本征值问题
李莉 lili66@
§3-1 二阶常微分方程的级数解法

二阶线性常微分方程 y '' p( x) y ' q( x) y 0
为具一般性，设变数x是复变数，p(x)，q(x)，y(x)为复变函数。 p(x)和q(x)称为方程的系数。 •方程的解完全由方程的系数决定 •方程解的解析性完全由方程系数的解析性决定 用级数解法解常微分方程时，得到的解总是某一指定点 x0 的邻域内收敛的无 穷级数。方程系数p(x)，q(x)在 x0 点的解析性就决定了级数解在 x0 点的解析 性，或者说，决定了级数解的形式，例如是泰勒级数还是罗朗级数。
k k k k 0 k 2 k 1 k 0




整理合并，得到
(k 2)(k 1)c
k 0

k 2
k (k 1) l (l 1) ck x k 0
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck 2 k (k 1) l (l 1) ck 0
k k 0
2 xy 2(k 1)ck 1 x
' k 0

k 2
k 1
2kck x k
k 1

l (l 1) y l (l 1)ck x k
k 0

代入方程中，有：
(k 2)(k 1)ck 2 x k (k 1)ck x 2kck x l (l 1)ck x k 0

cn n(n 1)( x x0 )n2 ak ( x x0 ) k cn n( x x0 ) n1 bl ( x x0 )l cn ( x x0 )n 0
l 0 n 0 n 0 k 0 n 0
cn n(n 1)( x x0 )n2 ak ( x x0 ) k cn n( x x0 ) n1 bl ( x x0 )l cn ( x x0 )n 0
c3
(1 l )(l 2) c1 3!
c2 k 1
c5
(3 l )(l 4) (3 l )(l 4) (1 l )(l 2) c3 c1 5 4 5 4 3 2 (3 l )(1 l )(l 4)(l 2) c1 5!
(2k l 1)(2k l ) c2 k 1 (2k 1)2k (2k l 1)(2k l 3)(2k l )(2k l 2) c2 k 3 (2k 1)2k (2k 1)(2k 2) c1 ... (2k 1 l )(2k 3 l )...(1 l ) (2k 1)! (l 2)(l 4)...(2k l )
l 0 n 0 n 0 k 0 n 0



由幂级数的乘法： 上式可化为：
k ( x x0 ) n ( x x0 ) ( nk k )( x x0 )n
k n k 0 n 0 n 0 k 0



n
cn 2 (n 2)(n 1)( x x0 ) n [ (k 1)ank ck 1 ]( x x0 ) n [ bnk ck ]( x x0 )n 0
即
ck 2
k (k 1) l (l 1) (k l )(l k 1) ck ck (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
ห้องสมุดไป่ตู้
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
由递推公式 ck 2
(k l )(l k 1) ck (k 2)(k 1)
y ( x) cn x n 解：x=0是方程的常点，根据定理，可知解的形式为：
n 0

根据上式求出：
y ( x) ncn x
' n 1
'' n2

n 1
(k 1)ck 1 x k
k 0
n2

y ( x) n(n 1)cn x
2 '' k 0
n 0，
1 c2 (a0 c1 b0 c0 ) 2
n 1，
1 c3 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1 ) 6 1 (a0 2 a1 b0 )c1 (a0b0 b1 )c0 6
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。

二阶线性常微分方程的常点和奇点
1. 如果p(x)，q(x)在 x0 点解析，则称 x0 为方程的常点；
2. 如果p(x)，q(x)中至少有一个在 x0 点不解析，则称 x0 为方程的奇点；
d2y dy 例1：超几何方程 x(1 x) 2 (1 ) x y 0 dx dx
n 0 n 0
n 1
cn n( x x0 )
n 1

cn 1 (n 1)( x x0 ) n ,
n0
上式可化为：
cn 2 (n 2)(n 1)( x x0 ) ak ( x x0 ) cn1 (n 1)( x x0 )n
y( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)(k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系数得：
2 1a2 2 a0 0, 4 3a4 2 a2 0,
由此可得系数的递推公式：(k
3 2a3 2 a1 0, 5 4a5 2 a3 0,
存在唯一的解y(x)，并且y(x)在此圆内单值解析。 根据这个定理，可以把y(x)在 x0 点的邻域 x x0 R 内展开为泰勒级数