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例题


例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不 仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经 济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。 为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由 各省运输管理部门负责省内的调查工作。 各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。 为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。 例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查， 根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。 因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层 是有必要的。
st
W 2 VY VY h h s t
h 1

L


只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。

各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量 是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
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证明性质1
由于对每一层有 L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st hh h h 因此， h 1 1 h L L L 1 1 Y W Y N Y Y Y h h h h h N N N h 1 h 1 h 1 估计量的方差 L L L L ˆ ˆ ˆ ˆ 2ˆ V Y V W Y W V Y 2 W W Cov Y , Y st h h h h h k hk h 1 h 1 h 1 k h 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全 L 为0，从而有
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。




1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。 2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。 3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。 4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理 机构设置进行分层。
L h h 1
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作用



分层抽样的抽样效率较高，也就是说分 层抽样的估计精度较高。这是因为分层 抽样估计量的方差只和层内方差有关， 和层间方差无关。 分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。 层内抽样方法可以不同，而且便于抽样 工作的组织。
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分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1L y W y N y s t h h h h N h 1 h 1
L
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估计量的性质

性质1：对于一般的分层抽样，如果 Y h 是 Y h 的
无偏估计（ h ），则 Y 是 Y 的无偏 1 ,, 2 , L st 估计。 Y 的方差为：
L 2 h L 2 h
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证明性质2：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽 样，对每一层有
y Y 因此，由性质1，有 E st L
h 1
y E Y h h
2 yst yh V W hV
1 fh 2 Sh 由第二章性质2，得 Vyh nh L L 1 f 2 2 h 2 y W V y W S 因此 V s t h h h h n h 1 h 1 h
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11Βιβλιοθήκη 1 f h 2 v y W v y W s s t h h n h 1 h 1 h
L 2 h L 2 h
性质3：对于分层随机抽样， V yst 的一个 无偏估计为：
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证明性质3：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随 V y 的无偏 机抽样，由第二章性质3，得 1 fh 2 估计为：
h
vyh
2 h
1 f h 2 v y W v y W s st h h n h 1 h 1 h
1 yh nh
y
i1
nh
hi
总体方差
样本方差
n h 1 2 2 s y y h h i h n 1 i 1 h
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第二节
估 计 量
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 Y 的估计
L 1 W Y Y N Y s t hh hh N h 1 h 1 L
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三、符号说明 (关于第h层的记号 )

层号
h 1 ,, 2 , L
单元总数
Nh
nh y hi
Wh Nh N
样本单元数
第 i个单元的值
层权
抽样比
fh
1 Yh Nh
2 h N h
y
i1
Nh
hi
总体均值
样本均值
nh Nh
2 1 S y Y hi h N 1 i 1 h

ˆ E Y Y h h





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ˆ W ˆ 2 V Y V Y h h st
h 1


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性质2：对于分层随机抽样， y st 是 Y y st 的方差为： 的无偏估计，

1 f h 2 V y W V y W S s t h h n h 1 h 1 h
第三章 分层随机抽样
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 分层随机抽样的定义、使用场合以及符号 估计量及其性质 样本量的分配原则 样本量的确定 分层抽样的若干问题
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第一节
一、定义

引
言
不重 不漏

在抽样之前，先将总体 N 个单元划分成 L 个互不 重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大 , N , , N 小分别为 N 1 2 L ，这个层合起来就是 N N 整个总体 ，然后，在每个层中分别 独立地 进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所 得到的样本称为分层样本。 如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则 称为分层随机抽样