1

1
n2
=
1 2
ε
1+

(ε0σεω
)2
2
+1,

κ
2
=
1 2
ε
1+

(ε0σεω)2
2
− 1





Q : 如果 ε 为负值，n 以及 κ 该如何面四个为相对于真空的比值
n2
光从自由空间垂直入射到半无限固体表面：
Maxwe11 方程 ＋ 边界条件
电介质
n?κ
，R
≈
(n −1)2 (n +1)2
r
=
Er
/
Ei
=
nc nc
−1 +1
=
n n
+ iκ + iκ
−1 +1
R
=
Ir
/
Ii
=
r
*⋅r
=
(n (n
− 1) 2 + 1)2
+κ2 +κ2
金属 n ≈ κ ? 1 ，R → 1 几乎全反射
ζ −ω
贡献不大，只需考虑 ζ ~ ω 的积分！
注 ： 能 否 直 接 用 r (ω )？ 至 少 繁 琐 且 得 不 到 这 些 分 析 。 并 且 其 实 部 虚 部 不 是 可 测 量 量 。
2. 从反射系数r(ω) = ρ(ω)eiθ ,(ω) 求折射率 n 和消光系数 κ
在垂直入射情况下，r(ω ) 与折射率 n，消光系数 κ
注：消光系数大，并不意味高吸收，也可能光反射掉了
§2. Kramers-Kronig关系式
材料光学参数包括（µ ≈1）：σ，ε，n，κ，α，εR，εI
前面分析表明，只需任意两个独立光学参数（或一套复参数） 即可表征材料光学特性，部分可实验测量从而得到其他参数。
从实验测定吸收系数 从实验测定反射率
复折射率 复反射系数 复介电常数
引入复电导率σ C = σ R + iσ I ，σ R = σ
vv 传导电流 j2 = σ E
,其中 σ = ωεI (ω )εo
极化电流
v ur j1 = iσI E
,其中σ I
= ωεo [1 − εR (ω)]
(2.11) (2.12)
复电导率 σC (ω)
复介电常数 εc
（3） 从复电导率 σ C (ω ) 求复介电常数εc
（1）光吸收用复介电常数 εc 描述
电磁波在吸收介质中传播时，可用复介电常数
描述，即 ε c (ω ) = ε R (ω ) + iε I (ω )
设电场为
v Ey
=
v Eoei
( kx
−ωt
)
（2.7）
v 表示电磁波 E 与传播的方向 x 垂直
在介质中电位移矢量
v D
v = εc (ω )εo E
,
分为两部分
v vv D = εoE + P
v
v
∴ P = εo[εc (ω) −1]E
（2.8）
(2) 引入复电导率 σ C = σ R + iσ I
v
v
P = εo[εc (ω) −1]E (2.8)
v 时间电的极变化化矢，量有P：随Pv&时=间vj 的变化，反映电荷位（移2.9随）
将(2.8)式代入(2.9)式得电流密度
=
1 2
ε
1+
(σ ε0εω
)2
1
2
+1,

κ
2
=
1 2
ε
1+
( σ )2 ε0εω
1
2
−1

复介电常数
εc =εR +iεI = nc2 nc2 = n2 −κ 2 +2inκ
εR = n2 −κ 2 =ε εI = 2nκ =σ / (ωε0)
v j
=
ε
o
[ε
c
(ω
)
−
1]Ev&
εc (ω) = εR (ω) +iεI (ω)
v
=
ε
o
[ε
R
(ω
)
−
1
+
iε
I
(ω r
)]
⋅
(
−iω
)
E
r
=
−iωε r
0
[ε
R
(ω ) r
− 1]E
+
ωε
I
(ω )ε 0 E
（2.10）
=
iσ r
I
E+ r
σ
E
如前所知 εI =σ / (ωε0)
= j1 + j2 σ I = ωεo [1− εR (ω)]
r
r
r
j
=
−iωε r
0
[ε
Rr(ω
)
−1]E
+ ωε I
(ω )ε 0 E
v= iσ I E +σ E
(2.10)
(2.10)式表明，在光吸收介质中，电流 j 分为两部分：
1）极化电流
v j1 与
v E
位相差90°，电场作功为0，不
消耗电磁场的能量
2）传导电流
v j2
与电场同位相，与欧姆定律形式一样
∞
P
0
ε R (ζ ) ζ 2 −ω2
dζ
(2.17)
∫ ε
R
(ω)
−1
=
2 π
∞
P
0
ζε ζ2
I (ζ ) −ω2
dζ
∫ ε I
(ω )
=
−
2ω π
∞
P
0
ε R (ζ ) ζ 2 −ω2
dζ
注：不同于一般的K-K形式！复介电常数不满足三个条件？虽然它线性地联系电位移矢
量和电场，它可能并不是描述材料特性在外电场下的最佳线性响应函数。但是可以看出
光强
E = E0e−i(ωt−kcx)
I (x) = E* •E = E02e−2ωκ x/c = E02e−α x
α = 2ωκ / c 吸收系数
穿透深度 d = 1 = c = λ0 α 2ωκ 4πκ
λ0真空波长
材料光学性质
n2
=
1ε 2
1+
( σ )2 ε0εω
1
2
有如下关系：
r(ω ) = n + iκ − 1 n + iκ + 1
（2.6）
由此求得折射率 n 和消光系数 κ
3.从折射率n(ω )和消光系数κ (ω ) 计算复介电常数
ε c = ε R + iε I
εR = n2 −κ 2
εI = 2n ⋅κ
n
k
εR
k
R
κ
εI
k
k
k
三、吸收光谱实验数据的分析
×
E)
=
−µµ0
∂ ∂t
(∇
×
H)
∇2E
=
µµ0σ
∂ ∂t
E
+
µµ0εε 0
∂2E ∂t 2
平面谐波解 E = E0e−i(ωt−kcx)
色散关系 kc2 = iµ0µσω + µ0µε0εω2
令复波矢
kc =
ω ε0µ0
nc
=
ω c0
(n + iκ )
n 折射率，κ 消光系数, nc 复折射率
代入色散关系可得
复电导率 σ C = σ R + iσ I 满足K-K关系式的三个条件，可
作为响应函数，故可用K-K关系式。
∫ σ
R
(ω
)
=
2 π
∞
P
0
ζσ ζ2
I (ζ ) −ω2
dζ
建立电流和电场的线性响应
∫ σ
I
(ω )
=
−
2ω π
∞
P
0
σ R (ζ ) ζ 2 −ω2
dζ
(2.13)
复介电常数 ε c = ε R + iε I 可从 σ C (ω ) 得到:
固体光学
Ø光与物质相互作用: 吸收 + 辐射 Ø可用来研究固体的电子状态——能带结构
及激发态等。
§1. 固体光学常数间的基本关系
各向同性均匀介质中电磁波波动方程 µ ≈1 磁导率 ε 介电常数 σ 电导率
∇
×
E
=
−µµ0
∂H ∂t
∇
×
H
=
σ
E
+
εε
0
∂E ∂t
∇gE = 0 ∇gH = 0
∇
×
(∇
一、K-K关系简介（线性响应理论，因果律）
设 f (ω)是一个线性无源系统的复响应函数，ω 是复平面
f (ω ) = fR (ω ) + i fI (ω ) 满足下列三个条件
Ⅰ. f (ω) 的所有极点都在实轴的下方，即 f (ω)在上半
平面是解析的
Ⅱ. f (ω) / ω 沿上半平面的一个无限远半园周上的积分为0
α
消光系数 κ = αc/2ω
R
反射系数模 ρ = R
nc =
r=ρ
n+
eiθ
iκ
εc = ε R + iεI
α →κ →n R→ρ →θ
Kramers-Kronig (K-K) 关系式是联系一个线性无源系统响应函数