轨 迹 方 程 问 题常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程；1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x ，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．例1．设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；解：因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-，所以a ·b ＝2210mx y +-=， 即 221mx y +=．当m ＝0时，方程表示两条直线：1±=y ； 当1m =时，方程表示的是圆：221x y +=； 当m ＞0且1≠m 时，方程表示的是椭圆； 当m ＜0时,方程表示的是双曲线． 2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程PMN例2．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,)P x y ，则，同理222(2)1PN x y =-+-．2222211(2)1PM O P O M x y =-=++-∵PM =，∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=． 这就是动点P 的轨迹方程． 注：动圆圆心轨迹问题①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程：例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C 的方程；（2）过A 作直线l 交曲线C 于,D E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程； （3）在（2）中求ODE ∆的重心G 的轨迹方程。
解：(1)点P 到点A 的距离等于点P 到直线y= -1的距离，故点P 的轨迹C 是以点A 为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线C 的方程 x 2=4y.2222A ,14440,+=4,(+)2, 1,21 2()1,1.2221l x y x x kx k x k y x x k y y x y =====+=⎧=⋅+=+⎨=+⎩1122212122(2)设M(x,y),D(x ,y ),E(x ,y ),依题意知过的直线的斜率存在，设该直线的方程为：y=kx+1 与联立，消整理得：--则x x 则x x kx+1=2k 2k 即，消去得：即为所求的方程k 另解：（2）(0,1)A ，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，(,)M x y ，则由2114x y =，2224x y =，两式相减得l k = 21212142y y x x x x x -+==-，又1l AM y k k x -==，12x y x -∴=，即2112y x =+. （3）设G （x,y ）, 由（2）得2+=4,+=(+)242k k k +=+121212x x y y x x ，240+33,0+42333k x x k y y +⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨+⎪⎪==+⎪⎪⎩⎩1212x x y y ，消去k 得：23243y x =+为所求方程。
4．“代入法”求轨迹方程：设点M 是已知曲线F （x ，y ）＝0上的动点，点P 因点M 的运动而运动（即点P 是点M 的相关点），求点P 的轨迹方程． ①设点M 的坐标为M （0x ，0y ），则F （0x ，0y ）＝0； ②设点P 的坐标为P （x ，y ）；③因为“点P 随点M 的运动而运动”，可以求得：0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）； ④把0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）代入F （0x ，0y ）＝0，即得所求点P 的轨迹方程．例4.已知点100(,)P x y 为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P .求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程.解： (1) 由已知得208303F b A b y （，），（，）,则直线2F A 的方程为:03(3)yy x b b =--,令0x =得09y y =,即20(0,9)P y ,设P x y （，）,则 00002952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩,即0025x x yy =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，代入22002218x y b b -=得:222241825x y b b -=, 2F 1F Oy xA 2P 1P P即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -= 5．“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y ）＝0和动曲线G(x ，y)＝0相交于点P ，求点P 的轨迹方程．从理论上，其求解程序为： ①设动点P 的坐标为：),(P P y x ；②解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F ，求交点即得到．其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点．例5．已知椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． （1）求a 与b 的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1L 过2F 且与x 轴垂直，动直线2L 与y 轴垂直，2L 交1L 于点P .求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.解：（1）e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心（0，0）到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+，∴2b ＝2，2a ＝3 ．（2）1F （－1，0）、2F （1，0），由题意可设P （1，t ）（t ≠0）.那么线段1PF 的中点为N （0，2t）．2L 的方程为：y ＝t ，设M(M M y x ,)是所求轨迹上的任意点.直线1PF 的斜率k ＝2t ，∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2．所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42，消去参数t 得：M Mx y 42-=，即： x y 42-=，其轨迹为抛物线（除原点）．又解：由于MN ＝（－x ，2t －y ），1PF ＝（－x ，2t－y ）．∵MN ·1PF ＝0， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，，消参数t 得：x y 42-=（x ≠0），其轨迹为抛物线（除原点）． 注：本题的第一问是由几何量确定轨迹方程；第二问是“交轨法”求轨迹方程． 例6．已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C 的内切圆半径为253，记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． (1)求椭圆2C 的标准方程；(2)设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，L 是线段AB 的垂直平分线，M 是L 上异于椭圆中心的点．若||MO ＝λ||OA (O 为坐标原点)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程．解：(1)由题意得22245253ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1． (2)若AB 所在的斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx(k ≠0)，A(A A y x ，)．由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++，⇒2222220(1)||45A A k OA x y k +=+=+． 设M(x ，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y kλ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线，所以直线L 的方程为y ＝1x k-⇒k ＝x y -，代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯，由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=， 当k ＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M 的轨迹方程为22245x y λ+=，（λ≠0）．例7．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（1）设椭圆长半轴长及分别为a ，c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a＝4，c ＝3.⇒椭圆C 的方程为221167x y +=． （2）设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。
由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+,整理得2222(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。
（i ）34λ=时。
化简得29112y =,所以点M 的轨迹方程为47(44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。
（ii ）34λ≠时，方程变形为2222111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-,当304λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。
当314λ<<时，点M 轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分． 例8．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．设()M x y ，，则 1(2)F M x y =+，，111(2)F A x y =+，，1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，， 由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩⇒12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩ ⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822y y y yx x x x --==----， 即1212()8yy y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 练习：1.分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是_______.2.已知点F 为抛物线22y x =的焦点，P 在抛物线上运动，则线段PF 的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ ），如果M 是线段1F P 的中点，则动点M 的轨迹是( ).（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线4.设A，B分别是直线y xAB=P满足=和y=上的两个动点，并且||20 =+．记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程.OP OA OB5.已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为，过点F且垂直长轴的弦长为1，1(1) 求椭圆C的方程;1(2) 过椭圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量1=+，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.OQ OM ON。