2023届河北省沧州市普通高中高三上学期摸底考数学试题一、单选题1．设集合A ，B 满足{}{}{}123456242345A B A B A ⋃=⋂==,,,,,,,,,,,，则B =（ ） A ．{}2,4,5,6 B ．{}1,2,4,6 C ．{}2,4,6 D ．{}1,2,4【答案】B【分析】利用集合A ，B 的运算结果以及集合A ，结合选项可得集合B ． 【详解】{}{}{}123456242345A B A B A ⋃=⋂==,,,,,,,,,,,，B ∴={}1,2,4,6故选：B2．设复数1i z =+（i 为虚数单位），则2z zz -=（ ）A ．0BC ．2D ．【答案】D【分析】由复数的共轭复数得到1i z =-，再根据复数的四则运算与复数模的运算即可得到答案.【详解】复数1i z =+（i 为虚数单位），1i z ∴=-，()()()221i 1i 1i 2i 2z zz -=+-+-=-∴，222i z zz ∴-=-+=故选：D.3．已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且a α⊥，αβ⊥，则“a b ⊥”是“b β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据垂直关系的性质可判断.【详解】由题a α⊥，αβ⊥，则a β⊂或//a β，若a b ⊥，则b β//或b β⊂或b 与β相交，故充分性不成立； 若b β⊥，则必有a b ⊥，故必要性成立，所以“a b ⊥”是“b β⊥”的必要不充分条件. 故选：B.4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（ ） A ．13B ．23C ．16D ．56【答案】B【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >， 由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =， 故113327a d a d +=+，15105a d +=， 解可得，123a =，16d =， 故任意两人所得的最大差值243d =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．5．已知圆()2200:4,,O x y M x y +=为圆O 上位于第一象限的一点，过点M 作圆O 的切线l ．当l 的横纵截距相等时，l 的方程为（ ）A ．0x y +-B ．0x y +-=C ．0x y +-=D ．0x y --【答案】A【分析】利用过圆上点的切线的性质可得OM l ⊥，利用点()00,M x y 表示出切线方程，结合l 的横纵截距相等，即得解【详解】由题意，点M 在第一象限，故过点M 的的切线l 斜率存在；点()00,M x y 在圆上，故OM l ⊥，即1OM l k k =- 0000OM l y x k k x y =∴=- 故直线l 的方程为：2200000000()4x y y x x x x y y x y y -=--⇔+=+= 令040,;x y x ==令040,;y x y ==当l 的横纵截距相等时，000044x y x y =⇔= 又2200004,0,0x y x y +=>>解得：002,2x y ==即224x y +=，即220x y +-= 故选：A6．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（ ） A ．4 B ．8C ．10D ．16【答案】A【分析】利用扇形的弧长公式和圆心角，即可计算求解.【详解】如图，AD 弧长为6π，BC 弧长为8π，因为圆心角为2π，6122OA ππ==，8162OB ππ==，则母线16124AB =-=.故选：A.7．已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（ ）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-【答案】B【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】解：因为()221ee 1xxf x -=+，所以()()2224e 0e 1xxf x -'=<+，所以()f x 在R 上单调递减，则()()22f x f x >+等价于22x x <+，解得12x -<<，即原不等式的解集为()1,2-.故选：B.8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，现将平面12AF F 沿12F F 所在直线折起，点A 到达点P 处，使二面角12P F F B --的平面角的大小为30，且三棱锥12P BF F -的体积为216a c ，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D 【答案】A【分析】依题意求出A 点坐标，即可得到211b AF BF a==，再由二面角的定义可知1PF B∠为二面角12P F F B --的平面角，再根据锥体的体积公式得到a b =，从而求出离心率； 【详解】解：由题意可知，直线AB 的方程为x c =-，代入双曲线方程可得2by a=±，设点A 在x 轴上方，则2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得211bAF BF a ==，所以21b PF a =，由题意可知121121,F F PF F F BF ⊥⊥，且111PF BF F =，所以12F F ⊥平面1PBF ，所以1PF B ∠为二面角12P F F B --的平面角，即130PF B ∠=︒， 所以12211422121121111sin 233266P BF F F PBF PBF b c V V S F F PF PF B c a c a --==⨯=⨯⨯⨯∠⨯==，即a b =，又222c a b =+，所以222a c =，可得双曲线的离心率为e = 故选：A ．9．下列说法正确的是（ ）A ．样本中心(),x y 不一定在回归直线上B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1C ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-D ．以e kx y c =拟合一组数据时，经ln z y =代换后的线性回归方程为0.34z x =+，则0.34e x y +=【答案】D【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A ；根据相关系数的意义即可判断BC ；根据指对数计算即可判断D.【详解】选项A ：回归直线必过样本中心，故A 不正确；选项B ：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值就越接近于1，故B 不正确；选项C ：若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =-，故C 不正确； 选项D ：以e kx y c =拟合一组数据时，经ln z y =代换后的线性回归方程为ln 0.34y z x ==+，则0.34e x y +=，故D 正确.故选：D.二、多选题10．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}1n a +是等比数列 B ．数列{}1n a +是等差数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T > 【答案】AC【分析】由1121n n n n a S S a ++=-=+可得，1121n n a a ++=+，可判断A,B 的正误，再求出n a ，可判断C 的正误，利用裂项相消法求n T ，可判断D 的正误. 【详解】因为121n n n S S a +=++，所以1121n n n n a S S a ++=-=+，1+122n n a a +=+， 即1121n n a a ++=+，且112a +=，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确，B 错误；所以12nn a +=，即21n n a =-，故C 正确；因为()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅， 所以12231121212121111111111212121n n n n T ++-+-+=----+---=--<…， 故D 错误； 故选：AC.11．函数()()=23cos(2)2sin 2013f x x x πωωω--<<的图象如图所示，将其向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线210x y -+=垂直C ．函数()sin y g x x =⋅的图象关于直线3x π=对称D ．函数(2)3g x π+在,99ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【分析】先化简函数得()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出()2cos g x x =，利用周期公式可以判断选项A 利用导数可以判断选项B ；利用三角函数的性质求出函数的对称轴和单调区间可以判断选项CD.【详解】解：()23)2sin 232sin 23f x x x x x πωωωω=--+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图象可得()26f π=，即2sin 2263ππω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()2332k k ωππππ+=+∈Z ，解得()162k k ω=+∈Z ， 又01ω<<，所以12ω=，因此()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意()2sin()2cos 63g x x x ππ=++=，根据周期公式可得22T ππω==，所以选项A 正确； 假设存在，设切点为00(,)P x y ，则()2sin g x x '=-，所以在00(,)P x y 的切线的斜率00()2sin k g x x '==-，又与直线210x y -+=垂直，所以02sin 2x -=-，得()022x k k Z ππ=+∈，假设成立，所以选项B 正确；()sin 2cos sin sin 2y g x x x x x =⋅==，其对称轴为()22x k k Z =+∈ππ，即对称轴为()142x k k ππ=+∈Z ，所以选项C 不正确； (2)2cos 233g x x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据余弦函数的单调递减区间，可得()2223k x k k ππππ≤+≤+∈Z ，即()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以选项D 正确.故选：ABD12．已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】CD【分析】由题构造函数()e xf x x =+，进而可得ln b a =，然后构造函数()lng x x x =-，利用导数可得函数的最小值，即得.【详解】设()e xf x x =+，则()f x 在R 上单调递增，因为()()()ln ln e ln eb af b f a b a -=+-+ln (ln )0a a a a =+-+=，则ln b a =， 设0at b=>，则a bt =，即()ln ln ln ln a b bt b t ===+， 所以ln ln t b b =-，设()ln ,0g x x x x =->，()111x g x x x-'=-=， 当'(0,1),()0x g x ∈<，当'(1,),()0x g x ∈+∞>， 则()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()()min 11g x g ==，即ln 1t ≥，所以e t ≥，即e ab≥， 故ab的取值可以是3和4. 故选：CD.三、填空题13．()6112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________．（用数字作答） 【答案】128-【解析】利用二项式定理求出612x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通项公式，再根据r 的取值，即可得答案；【详解】612x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式61612(),0,,6r r rr T C r x -+==当0r =和1r =时，可得展开式中常数项为06156622128C C -=-，故答案为：128-.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题.14．已知平面向量a ，b 满足()1,1a =，1a b +=，则b 的取值范围为________.【答案】1⎤⎦【分析】利用向量的模的计算公式，化简即可得到向量b 的终点的轨迹方程，进而利用数形结合，即可求解.【详解】设(),b x y =，则()1,1a b x y +=++，1a b +=，即为()()22111x y +++=，则在平面坐标系中向量b 的终点的轨迹为以()1,1--为圆心，1为半径的圆，圆心到原点的121b ≤≤+.故答案为：1⎤⎦15．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答） 【答案】144【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则4343144A A ⋅=.故答案为：144.16．已知函数()()222x xx xf x a a e e ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为________． 【答案】1 【分析】令xxt e =，则原函数会转化为关于t 的一元二次方程的根，通过韦达定理确保根的情况，同时研究内层函数()xxg x e =的图象，数形结合研究零点的范围. 【详解】设()xx g x e=，()1x xg x e -'=，当1x <时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且0x >时，()0g x >；0x <时，()0g x <，∴()()max 11g x g e==，作出()g x 的图象，如图要使()()222x x x x f x a a e e ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点1x ，2x ，3x 其中123x x x <<令x xt e=，则()2220t a t a +-+-=需要有两个不同的实数根12,t t （其中12t t <） 则()()22420a a ∆=--->，即2a >或2a <-，且121222t t a t t a +=-⎧⎨⋅=-⎩ 若2a >，则12122020t t a t t a +=-<⎧⎨⋅=-<⎩，∵12t t <，∴10t <，则210,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴1210t t e <<<，则12301x x x <<<<，且()()232g x g x t ==∴3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()21221(1)(1)t t t =---()212121t t t t =-++⎡⎤⎣⎦ ()2122a a =--+-⎡⎤⎣⎦1=若2a <-，则12122424t t a t t a +=->⎧⎨⋅=->⎩，因为()()max 11g x g e ==，且210,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()12max 4t t +<，故不符合题意，舍去综上3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1=故答案为：1【点睛】数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，进而求得结果。