第一章非线性动力学分析方法（6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析方法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分支现象；5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。

二、教学重点1、线性稳定性的分析方法；2、奇点的判别。

三、教学难点线性稳定性的分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。

六、教学过程本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。

1.1相空间和稳定性一、动力系统在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。

再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。

然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。

研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。

假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。

有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r的函数。

如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。

这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。

),,,(2111n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ ),,,(2122n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ 其中λ代表某一控制参数。

对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。

由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。

若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。

非自治动力系统可化为自治动力系统。

对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。

例如:)cos(t A x x ω=+令y x= ，t z ω=，上式化为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-==.cos ,ωzz A x y y x 上式则是一个三维自治动力系统。

又如：⎩⎨⎧==).,,(),,,(t v u g vt v u f u令t w =，则化为⎪⎩⎪⎨⎧===.1),,,(),,,(w w v u g v w v u f u它就是三微自治动力系统.对于常微分方程来说，只要给定初始条件方程就能求解。

对于偏微分方程，不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。

能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的，大多数只能求数值解或近似解析解。

二、相空间由n 个状态变量{}i X ＝(X 1，X 2，…X n )描述的系统，可以用这n 个状态变量为坐标轴支起一个n 维空间，这个n 维空间就称为系统的相空间。

在t 时刻，每个状态变量都有一个确定的值，这些值决定了相空间的一个点，这个点称为系统状态的代表点(相点)，即它代表了系统t 时刻的状态。

随着时间的流逝，代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线。

它代表了系统状态的演化过程。

三、稳定性把方程组(1.1.1)简写如下),,,(21n i iX X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ， i ＝l ，2，…n (1.1.2) 设方程组(1.1.2)在初始条件00)(i i X t X =下的解为)(t X i ，如果用与原来略有差别的初始条件i i i X t X η+='00)(，i η是一个小扰动，就会得到方程组的新解)(t X i '。

如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，并且δη≤i ，当0t t ≥时也满足 ε<-')()(t X t X i i ，i ＝l ，2，…n(1.1.3)则称方程组(1.1.2)的解)(t X i 是稳定的，否则它就是不稳定的。

这样定义的稳定性称为Lyapunov 稳定性。

如果)(t X i 是稳定的，并且满足极限条件 0)()(lim ='-∞→t X t X i i t ，i ＝l ，2，…n(1.1.4)则称)(t X i 是惭近稳定的。

上述抽象的数学定义可以直观理解为：方程组(1.2)对于不同的初始条件有不同的解，如果原初始条件)(0t X i 和受扰动后的初始条件)(0t X i '之差限定在一定的范围内，即δ<-')()(00t X t X i i ，未扰动解)(t X i 和扰动解)(t X i '之差也不超出一定的范围，即ε<-')()(t X t X i i ，则末扰动解)(t X i 就是稳定的；如果)(t X i '渐渐趋近于)(t X i ，最终变得和)(t X i 一致，则称)(t X i 是渐近稳定的；如果)(t X i '与)(t X i 之差不存在一个有限范围，即)(t X i '远离)(t X i ，则称)(t X i 是不稳定的。

由上述Lyapunov 稳定性的定义可以看到，要对动力系统的解的稳定性做出判断，必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统是很难获得解析解的，即使获得近似解析解也是如此。

那么，我们能否象最小熵产生原理那样，不用对方程组具体求解就能对系统的稳定性作出判断。

Lyapunov 发展了这种判断方法，通常称为Lyapunov 第二方法。

这种方法主要是寻找(或构造)一个Lyapunov 函数，利用这个函数的性质对系统的稳定性作出判断。

1.2线性稳定性分析通过上节对稳定性的定义我们知道，要对非线性微分方程组的解的稳定性作出判断，最好是求出它的解析解。

然而，对于大多数非线性微分方程组很难得到它们的解析解，甚至求近似解析解都是不可能的。

虽然Lyapunov 方法避开了这一困难，但寻找一个Lyapunov 函数仍存在着相当的困难。

那么我们能否不去对非线性方程组去求解，而采取一种既简单又有效的方法对非线性方程组定态解的稳定性作出定性的判断。

这样的方法是存在的，那就是线性稳定性分析方法。

它的主要思想是，在非线性微分方程组定态解的小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动的稳定性。

因为线性微分方程组是容易求解的，而且在定态解的小邻域，用线性微分方程组近似取代非线性微分方程组是合理，所以线性稳定性分析方法既简单又有效，是一种常用的稳定性分析方法。

首先通过一个简单的例子来了解线性稳定性分析的思路。

设有一非线性微分方程)(12X f X dtdX=-= (1.2.1)在定态X 0，00=dtdX ，有01)(200=-=X X f(1.2.2)由此得到定态解101=X ，102-=X(1.2.3)设)(t x 是定态附近的小扰动，即)()(0t x X t X +=(1.2.4) 10<<X x(1.2.5)把方程(1.2.4)代入方程(1.2.1)，有202021x x X X dtdx ---= (1.2.6)考虑到定态方程(1.2.2)，并忽略小扰动x 的二次项，得x x Xfx X dt dx ω=∂∂=-=00)(2 (1.2.7)其中002)(X Xf-=∂∂=ω （1.2.8）是线性化系数。

方程(1.2.7)是非线性方程(1.2.1)的线性化方程，容易求出它的解为t e x t x ω0)(=其中)0(0x x =是初始扰动。

讨论：定态解的稳定性取决于ω的符号。

（1）如果ω<0，定态解附近的扰动会随时间指数衰减，最后回到该定态，说明这个定态是稳定的；（2）如果ω>0，定态附近的扰动会随时间指数增加，最后离开这个定态，表明该定态是不稳定的。

对于定态101=X ，0220<-=-=X ω，01X 是稳定的；对于定态102-=X ，0220>=-=X ω，02X 是不稳定的。

图1.1 方程(1.2.2)的定态解的稳定性我们可以很容易求得方程(1.2.1)的精确解析解(为一双曲函数))()(k t th t X +=)0(1X th k -=，1)0(±≠X(1.2.9)对于不同的初始条件)0(X ，可以得到一系列的)(t X 曲线，它们随时间的演化行为如图1.1所示，曲线族趋于X 01＝1，离开X 02＝-1。

这证明我们采用线化方程得到的定性结论是正确的。

上述例子虽然简单，但具有一般性，数学家对此作了证明，并形成线性稳定性定理。

设有非线性方程组{}),(j i iX f dtdX λ=，n j i ,,2,1,⋅⋅⋅= (1.2.10)并设)(t x i 是定态解{}0i X 附近的小扰动，即)()(0t x X t X i i i +=10<<i iX x ，n i ,,2,1⋅⋅⋅= (1.2.11)非线性方程组(1.2.10)在定态解{}0i X 附近的线性化方程为∑=∂∂=nj j ji i x x f dt dx 10)((1.2.12)定理 如果线性化方程组(1.2.12)的零解(021==⋅⋅⋅=n x x x )是渐近稳定的，则非线性方程组(1.2.10)的定态解{}0i X 也是渐近稳定的；如果零解是不稳定的，则定态解{}0i X 也是不稳定的。

线性稳定性定理保证了利用线性的方法来研究非线性方程定态解稳定性的有效性。

利用线性稳定性定理来研究非线性方程定态解稳定性的过程称为线性稳定性分析。

这种分析方法在处理实际问题中经常被用到。

值得提及的是，线性稳定性定理只是对线性化方程的零解是渐近稳定的或是不稳定的情形给出了结论，而对于零解是Lyapunov 稳定的并不是浙近稳定的情形没有给出任何信息。

这在下节会给予讨论。

1.3奇点分类和极限环现在我们考虑只有两个状态变量(X ，Y)的非线性动力系统，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(21Y X f dtdY Y X f dtdX(1.3.1)现在相空间变为分别以X 和Y 为坐标轴的二维相平面。

如果方程(1.3.1)的解存在且唯一，那么它的解在相平面上就表现为一条线。

轨线的斜率是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(,),(),()0(,),(),(221112f Y X f Y X f dY dX f Y X f Y X f dX dY(1.3.2)只要),(1Y X f 和),(2Y X f 不同时为零且连续可微，轨线的斜率就是唯一的，它意味着轨线不相交。

如果轨线在相平面中某一点相交，则这一点的斜率就不是唯一的。

换句话说，数学上的解的存在与唯一性定理要求相空间中的轨线不能相交。

如果),(1Y X f 和),(2Y X f 同时为零，即⎩⎨⎧==0),(0),(002001Y X f Y X f (1.3.3)=dX dY (1.3.4)这表明轨线的斜率不唯一。