L B
例 17.如图，四棱锥 P— ABCD 中，底面是一个矩形， ∠PAD ＝ 60° ① 求四棱锥的体积； ② 求二面角 P－ BC－ D 的大小 .
AB＝ 3，AD ＝ 1，又 PA⊥AB ，PA＝4， P
H D
A
E C
B
例 18 . （ 2006 年全国卷Ⅱ）已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一
D. 90
D1
C1
A1
B1
D
C
2
C.
2
3
D.
4
A
B
5．已知在 ABC 中 ，AB=9，AC=15 ， BAC 120 ，它所在平面外一点 P 到 ABC 三顶 点的距离都是 14，那么点 P 到平面 ABC 的距离为（ ）
A. 13
B. 11
C. 9
D. 7
6．如图，在棱长为 3 的正方体 ABCD -A1B1C1D 1中， M 、 N 分别
考点 2 异面直线的距离
例 3 已知三棱锥 S ABC ，底面是边长为 4 2 的正三角形，棱 SC 的长为 2，且垂直于底面 . E、 D 分别为 BC、 AB 的中点，求
CD 与 SE 间的距离 .
考点 3 直线到平面的距离
例 4． 如图，在棱长为 2 的正方体 AC1 中， G 是 AA1 的中点，求 BD 到平面 GB1D1 的距离 .
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例 11．（ 2006 年全国Ⅰ卷）
如图 ,l1、l2 是互相垂直的两条异面直线， MN 是它们的公垂线段，点 A、B 在
C
l 1 上， C 在 l2 上， AM =MB =MN （I ）证明 AC NB；
A
M
N
（II ）若 ACB 60 ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值 .
A1 D
B A
3．在一个 45 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成
的另一平面所成的角为（
）
A. 30
B. 45
C. 60
4．如图，直平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长均为 2，
BAD 60 ，则对角线 A1C 与侧面 DCC 1D 1 所成
的角的正弦值为（
）
1
A.
2
3
B.
2
45 角，则此直线与二面角
（Ⅱ）设 PA＝ k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ,求 k 的取
值范围 .
考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 10．（ 2007 年江苏卷）
如图，已知 ABCD A1B1C 1D1 是棱长为 3 的正方体，
点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，且 AE FC1 1．
（1）求证： E， B，F，D1四点共面；
（2）若点 G 在 BC 上， BG
2 ，点 M 在 BB1上，
3
GM ⊥ BF ，垂足为 H ，求证： EM ⊥ 平面 BCC1B1 ；
D1 C
A1 B1
F
E
M
D
A
H
C
GB
（3）用 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小，求 tan ．
3
又 CM ⊥AC 1; （1） 求证： CM ⊥ C1D;
（2） 求 AA 1 的长 .
2 ． 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 底面是矩 形且 AD=2 ， AB=PA= 2 ， PA⊥底面 ABCD ，E 是 AD 的中点， F 在 PC 上 . (1) 求 F 在何处时， EF ⊥平面 PBC ； (2) 在 (1) 的条件下， EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段 .若是，求 出公垂线段的长度；若不是，说明理由； (3) 在 (1) 的条件下，求直线 BD 与平面 BEF 所成的角 .
B、 60°
C、 45°
D、 0°
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例 14.长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，
D1 ① 设对角线 D 1B 与自 D 1出发的三条棱分别成 α 、 β 、 角
求证： cos2α ＋ cos2β ＋cos2 ＝ 1 ② 设 D 1B 与自 D1 出发的三个面成 α 、 β 、
cos2α ＋cos2β＋ cos2 ＝ 2
例 13 .如图左，在正三角形 ABC 中， D、 E、F 分别为各边的中点， G、H、 I、J 分别为 AF、
AD 、BE、 DE 的中点，将△ ABC 沿 DE 、EF、 DF 折成三棱锥后， GH 与 IJ 所成角的度数为
（
）
A
G
F
(A、B、C) C
H D
J E
I
B
H
D J E
G
I F
A、 90°
（II ）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小．
E
O
B
C
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例 6．（ 2006 年广东卷）如图所示， AF 、DE 分别是⊙ O、⊙ O1 的直径 .AD 与两圆所在的平 面均垂直， AD ＝ 8,BC 是⊙ O 的直径， AB＝ AC＝ 6，OE//AD . (Ⅰ )求二面角 B— AD— F 的大小； (Ⅱ )求直线 BD 与 EF 所成的角 .
C B
D
C1
B1
P
例 2.( 2006 年湖南卷 )如图 ,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与
Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.
(Ⅰ )证明 PQ⊥平面 ABCD ； (Ⅱ )求异面直线 AQ 与 PB 所成的角； (Ⅲ )求点 P 到平面 QAD 的距离 .
D
C
M A
O B
Q
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D1
P A1
C1 B1
你认为正确的一个答案即可）
3．边长为 1 的等边三角形 ABC 中 ,沿 BC 边高线 AD 折起 ,使得折后二面角 B-AD-C 为 60° ,则点 A 到 BC 的距离为 _________,点 D 到平面 ABC 的距离 A 为 __________.
4．在水平横梁上 A、 B 两点处各挂长为 50cm 的细绳， AM、 BN、 AB 的长度为 60cm，在 MN 处挂长为 60cm 的木条， MN 平行于横梁，木条的中点为 O，若木条 绕过 O 的铅垂线旋转 60°，则木条比原来升高了
_________.
5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 方体的一个顶点 A 在 平面内 .其余顶点在
.如图正 的同侧，
正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别是
1、 2 和 4. P 是正方体其余四个顶点中的一个，则
① 3；② 4；③ 5；④ 6；⑤ 7.
以上结论正确的为
.
P 到平面
D1 O1
C1
A1
B1
H
G
D
C
O
A
B
考点 4 异面直线所成的角
A
例 5（ 2007 年北京卷文）
如图，在 Rt△AOB中， OAB π，斜边 AB 4 ． Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB
6
D
以直线 AO 为轴旋转得到， 且二面角 B AO C 的直二面角． D 是 AB 的中点．
（I ）求证：平面 COD 平面 AOB ；
B
考点 8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择
题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断
.
例 12 . 如图（ 1），将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚
线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器， 当这个正六棱柱容器的底面边长为
时
容积最大 .
考点 5 直线和平面所成的角 例 7.（ 2007 年全国卷Ⅰ理） 四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，侧面 SBC 底面 ABCD．已知 ∠ABC 45 ，
S
AB 2 ， BC 2 2 ， SA SB 3 ．
（Ⅰ）证明 SA BC ； （Ⅱ）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小．A.3B.4C1
10 C. arctan
4
6 D. arcsin
4
2．直线 a 与平面 成 角， a 是平面 的斜线， b 是平面
内与 a 异面的任意直线，则 a 与 b 所成的角（ ）
C
A. 最小值 ，最大值 C. 最小值 ，无最大值
B. 最小值 ，最大值
2
D. 无最小值，最大值
4
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B1
第六讲 立体几何新题型的解题技巧
考点 1 点到平面的距离 例 1（ 2007 年福建卷理） 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都为 2 ， D 为 CC1 中点．
（Ⅰ）求证： AB1 ⊥平面 A1 BD ；
A
A1
（Ⅱ）求二面角 A A1D B 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 A1 BD 的距离．
（写出所有正确结论的编号．．）
D
E
C
B
的距离可能是：
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O1
6. 如图，棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔 （不计小孔直径） O1、O2、O3 它们分别是所在面的中心 .如果恰当放置容 器，容器存水的最大容积是 _______m3.
O2 O3
三、解答题
1
1． 在正三棱柱 ABC — A 1B1C1中，底面边长为 a,D 为 BC 为中点，M 在 BB 1上，且 BM= B 1M ，
角一定不等于（ ）
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
D1
C1
二、填空题
B1
1．如图，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 A1B1 A1