y 3x 1
y 3x 2
2
y 3x 1
2
画图看一看
把y=3x² 的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)² 的图像 把y=3x² 的图像沿轴向左平移1个单位就得到y=3(x+1)² 的图像
y 3x 1
二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.
列表看一看
x
y 3x 2
-4
-3 27
-2 12 27
-1 3 12
0 0 3
1 3 0
2 12 3
3 27 12
4
y 3x 1 y 3x 1
2
27
2
27
12
3
0
3
12
27
y=3(x-1)² 的值比y=3x² 的值落后， y=3(x+1)² 的值比y=3x² 的值提前。
抛物线
向下
（-1，0） 直线x=-1
以直线x=-1为界线
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= ，h= .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 的图象，在向 平移 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=3(x+6）2的图象是由函数 的 图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对 称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时， y随x的增大而增大，当x= 时，y有最 值是 .
二次项系数 a>0,开口向上.
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的增减性类似.
y 3x 2
y 3x 1
2
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x<1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少,.
顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时, 最小值是0..
y 3x
2
y 3x 1
猜一猜二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图
象的位置和形状
y
2.抛物线y=-3(x1)2和y=-3(x+1)2在x 轴的下方(除顶点外 ),它的开口向下,并 且向下无限伸展.
•
y 3x 1
2
y 3x 1 1.抛物线y=-3(x2
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称 轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴 (x=1)右侧,当x>1时, y随着x 的增大而减小.当x=1时,函数 y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴 (x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函 数y的值最大(是0).
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以由y=ax² 的图象平移得到。 先 沿 x轴 整体向左(右)平移 |h| 个单位(当h>0时,向右平移;当 h<0时,向左平移),再沿 对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时 向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
y 3x 2
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形. 对称轴是平行于 y轴的直线:x= -1.
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
顶点坐标 是点(-1,0).
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样 ?
二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的增减性类似.
y 3x 1
函数y=-3(x+1)² +1的图像呢？
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
1 (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). . (3)都有最(大或小)值. (2)都是轴对称图形. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都 随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2 . 只是位置不同 (1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
最值 开口大小
当x=h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
结束寄语
下课了!
•读书要从薄到厚, 再从厚到薄.
函数y=3(x-1)² +1的图像有什么特点 ？
图像是
开口方向
向上
顶点是
对称轴 直线x=1
抛物线
（1.1）
+1的图像可以看成是y=3(x-1)² 平移得到的 理由是 y=3(x-1)²
猜一猜,函数y=-3(x-1)² ,y=-3(x+1)2和 y=-3x² 的图象的位置和形状.
函数 图像 开口 方向
顶点坐标 对称轴 y随x变化规律
y=-3x²
抛物线
向下
（0，0） 直线x=0
以直线x=0为界线
y=-3(x-1)2
抛物线
向下
（1，0） 直线x=1
以直线x=1为界线
y=-3(x+1)2
x
y=3x²
y=3(x-1)²
-2
-1
0
1
2
3 12
y 3x 1
2
12
3 0 12 3
3 0
y 3x
2
12 3
问题
函数y=a(x-h)² 的图像是什么?它与y=ax² 的图像有什么关系？ 我们从探索y=3(x-1)² 与y=3x² 的关系开始。
观察图象,回答问题
y 3x 2
y 3x 1
y 3x 2
2
y (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 顶点是最低点,函数 的值随x的增大而减少,. 有最小值.当x=-1时, 最小值是0..
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
九年级数学(下)第二章 二次函数
二次函数y=ax²+bx+c的图象1
.
上一节我们从探索y=x² 的图像出发，研究 了y=ax² 及y=ax² +c的图像和性质
+c和函数y=ax² 的图像有什么联系？ 问题1 函数y=ax²
都是抛物线且开口方向及大小完全相同，只是图像位置不同 y=ax² +c的图象可以由y=ax² 的图象沿对称轴平移得到。
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线 y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） y=a(x-h)2 (a<0) （h，0） 直线x=h 向下
顶点坐标
对称轴
直线x=h
开口方向
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 y随x 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 变化规律 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
2
(3) 函数y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的图象的对称轴 和顶点坐标分别是什么?
函数
图像
开口 方向
向上
向上
顶点坐 标
对称轴
y随x变化规律
y=3x2
y=3(x-1)2
抛物线
抛物线
（0，0） 直线x=0
（1，0） 直线x=1
以直线x=0为界线
以直线x=1为界线
猜一猜,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置? 二次函数y=3(x+1)² 的值随自变量变化有什么规律？
y 3x 2
1)2的顶点是(1,0);对 称轴是直线:x=1;抛 物线y=-3(x+1)2的 顶点是(-1,0);对称轴 是直线:x=-1.
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
2
(1) 函数 y=3(x-1) 2 的 图象与y=3x2的图象有 什么关系?
把y=3x² 的图像沿x轴向右平移1个单位就得 到y=3(x-1)² 的图像
(2)函数y=3(x-1)2的图象的开口方向如何?它 的对称轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1. 顶点坐标 是点(1,0).
y=ax2+c可由 y=ax2的图像上下平移而得到
当c>0 时，向上平移c个单位; 当c<0 时，向下平移︱c︱个单位。
问题 函数y=a(x-h)² 的图像是什么 ?它与y=ax² 的图像有什么关系？ 我们从探索y=3(x-1)² 与y=3x² 的关系开始。
在下列平面直角坐标系中，做出y=3(x-1）² 的图像