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点的合成运动


元素,已知任意四个元素,就能求出其他两个。
[例1] 圆盘凸轮机构 已知:OC=e , R 3 e , (匀角速度) 图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。 求:从动杆AB的速度。 解:动点取直杆上A点,动系固结于圆盘, 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求,方向//AB 相对速度 vr = ? 未知,方向CA 牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA
用符号ve和ae表示。
分析3种运动时需要注意的几个问题
1. 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动,它可能作直线 运动或曲线运动;而牵连运动则是指动系的运动,实际上也就是 与之相连的参考体-刚体的运动,牵连运动可能是平移、转动或 其它较复杂的运动;
2. 牵连速度(加速度)是指牵连点的(绝对)速度(加速度), 而牵连运动是指动参考体-刚体的运动。这在概念上是不同的, 二者的联系是牵连点是动参考体上与动点的瞬时重合点;

n
n
4v0 3R
2
其中 ar
n

vr / R (
2
2 3
v0 ) / R
2
作加速度矢量图如图示,
将上式投影到法线上,得
n
a a sin a e cos a r
4v0 3R
2
n
2
a a ( a e cos a r ) / sin ( a 0 cos 60
60

D A
E
牵连速度ve: ve= vB,垂直于BD向右下。
B
vr
vB v a
ω0
O
30

C
相对速度vr:大小未知,方向沿杆BC向左 应用速度合成定理
可得
ve
va ve vr
ve vr va o r
因而杆BD的角速度大小为

vB l ve l
O r
l
4. 加速度分析。 绝对加速度aa: aa = ωo r ,沿OA,指向O。 ω
牵连速度
va ve vr
说明:va—动点的绝对速度;
vr—动点的相对速度; ve—动点的牵连速度,是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时,动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时,ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
点的速度合成定理是瞬时矢量式,共包括大小‚方向 六个
aa aa ae ae ar ar
n n



n
ε
ω
60

D

B
A
60
ae C
30
n
E
上式两端向 y 轴投影得
aa sin 30 ae cos 30 ae sin 30
n
O
30

ar
解得




y
ae

aa
ae

a
a
ae
n
sin 30



3o l r
B
ω0
O
30

C
解:
y' ε ω
60

1. 选择动点,动系与定系。 E x' 动点- 滑块A 。
D
A
B
ω0
O
30

C
动系-Cx´y´,固连于杆BC。 定系-固连于机座。
2. 运动分析。 绝对运动-以O为圆心的圆周运动。 相对运动-沿杆BC直线运动。 牵连运动-平动。
3. 速度分析。 绝对速度va:va = ω0 r,垂直于OA向下。 ε ω
2
cos 30

3l
所以杆BD的角加速度


ae l

3o r (l r )
2
3l
2
[例3] 曲柄滑杆机构 = 45o 时,, ; 已知: OA=l , 求:小车的速度与加速度. 解: 动点:OA杆上 A点; 动系:固结在滑杆上; 静系:固结在机架上。 绝对运动:圆周运动, v a l
a a l ( 方向 OA ),

( 方向 OA )
a a l
解: 1、动点:滑块 A 动系:摇杆 O 1 B 2、运动分析: 绝对运动-绕O点的圆周运动;相对运动-沿 O1B的直线运动;牵连运动-绕O1轴定轴转动。 3、 √ √ √
ve va sin r sin
1
ve O1 A r
2
l r
2
2
由上述例题可看出,求解合成运动的速度问题的一般步骤为:
动系相对于定系的运动,称为牵 连运动(convected motion)。图中, 牵连运动为绕Oy ' 轴的定轴转动。
动系上每一瞬时与动点相重合 的那一点,称为瞬时重合点,又称 为牵连点。由于动点相对于动系是 运动的,因此,在不同的瞬时,牵 连点是动系上的不同点。
动系上牵连点相对定系的运动速 度和加速度,分别称为动点的牵连速 度(convected velocity)和牵连加速 度(convected acceleration),分别
a a l ( 方向 OA ),
vr ? ar ?

( 方向 OA )
a a l
n
2
( 沿 AO 指向 O )
相对运动:直线运动,
铅直方向
牵连运动:平动;
ve ? ae ? 水平方向 , 待求量 .
[例3] 曲柄滑杆机构 o 已知: OA=l , = 45 时,, ; 求:小车的速度与加速度. 解: 动点:OA杆上 A点; 动系:固结在滑杆上; 静系:固结在机架上。 绝对运动:圆周运动, v a l
n n



n
已知:凸轮半径 R , v o , a o 求: =60o时, 顶杆AB 的加速度。
例1
解:取杆上的A点为 动点,动系与凸轮固 连。
绝对速度va = ? , 方向AB ; 相对速度vr = ? , 方向CA; 牵连速度ve=v0 , 方向 → ;

由速度合成定理
va ve vr ,
60

ε
D n ae
30

E
相对加速度ar:大小未知,沿BC杆,指
向未知,假设向右。 牵连加速度切向分量aet:与aBt相同,大
B
A ω0 O C
ar
ae

aa
小未知,垂直于DB,假设向下。
牵连加速度法向分量aen:aen = aBn = ω 2l =ωo 2r2 / l,方向沿直线DB,指向D。
根据加速度合成定理
选取动点,动系和静系。
三种运动的分析。 三种速度的分析。
根据速度合成定理 v a v e v r , 作出速度平行四边形。
根据速度平行四边形,求出未知量。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
一般情况,在选择动系时,要选择动点相对动系的相对运动轨迹易于直 观判断的。
二.动点:所研究的点(运动着的点)。 三.三种运动及三种速度与三种加速度。
动点相对于定系的运动,称 为 动 点 的 绝 对 运 动 ( absolute motion)。动点刀尖P点的绝对 运动为水平直线(绝对轨迹)运 动。 动点相对于定系的运动速度和 加速度,分别称为动点的绝对速 度(absolute velocity)和绝对加 速度(absolute acceleration), 分别用符号va和aa表示。
3. 分析这三种运动时,必须明确:以哪一物体作为参考系。
四.动点的选择原则: 一般选择主动件与从动件的连接点,它是对两 个坐标系都有运动的点。
五.动系的选择原则: 动点对动系有相对运动,且相对运动的轨迹是 已知的,或者能直接看出的。
下面举例再说明以上各概念:
动点:AB杆上A点 动系:固结于凸轮O'上 静系:固结在地面上
P′ y′ r r ′ P1′
r t
r =r ′ +r1
r1
t 0
lim
r t
lim
t 0
lim
r1 t
t 0
va ve vr
va vr ve
绝对速度 相对速度
此即为速度合成定理(theorem for composition of velocities), 即动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。 由于没有对绝对运动和相对运动轨迹形状作任何限制,也没 有对牵连运动为何种刚体运动作限制,因此本定理对各种运动 都是适用的。
动点相对于动系(与工 件固结)的运动,称为动 点的相对运动(relative motion)。动点刀尖上P点 的相对运动是在工件圆柱 面上的螺旋线(相对轨迹) 运动。 动点相对于动系的运动 速度和加速度,分别称为 动点的相对速度(relative velocity)和相对加速度 (relative acceleration), 分别用符号vr和ar表示。
z′ x′
y′
z
y
O x
t 瞬时
t+t 瞬时
三种运动轨迹
金属线在定系中运动,动系固结在金属线上。 动点(极小的金属环)P沿着金属线运动。 P1点-动系上与动点重合的点 。
z′ z x′ y O
绝对运动轨迹
P′
相对运动轨迹
y′ r
r ′ P1′
x
P,P1
r1
牵连运动轨迹
z′ x′ P, P1
运动的合成与分解
张爱锋 编
第五章 运动的合成与分解
§5–1 点的合成运动的基本概念
§5–2 点的速度合成定理 §5–3 点的加速度合成定理 §5–4 刚体平面运动的基本概念 平面运动的分解 §5–5 平面图形上各点的速度
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