一元二次方程知识点及习题（一）
1、认识一元二次方程：
概念：只含有一个未知数，并且可以化为20ax bx c ++= (,,a b c 为常数，0a ≠)的整式方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。

如：2230x x --=是分式方程，所以2230x x
--=不是一元二次方程。

②、只含有一个未知数。

③、未知数的最高次数是2次。

2、一元二次方程的一般形式：
一般形式：20ax bx c ++= (0a ≠)，系数,,a b c 中，a 一定不能为0，b 、c 则可以为0， 其中，2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。

例题：将方程2(3)(31)x x x -+=化成一元二次方程的一般形式. 解： 2(3)(31)x x x -+=
去括号，得： 22383x x x --=
移项、合并同类项，得： 22830x x --= (一般形式的等号右边一定等于0)
3、一元二次方程的解法：
(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=
(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原
方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）
(3)、公式法：（求根公式：x =） (4)、分解因式法：（理论依据：0a b •=，则0a =或0b =；利用提公因式、
运用
公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。

）
一：一元二次方程的定义
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x
2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A ．2±=m
B ．m=2
C ．2-≠m
D ．2±≠m
3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。

则a 的值为
( )
A 、 1
B 、－l
C 、 1 或－1
D 、 12
4、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

5、关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）
A 、≠1
B 、≠－2
C 、≠1且≠－2
D 、≠1或≠－2 二：一元二次方程的解
1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。

5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）
A 1-
B 1
C c b -
D a - 课堂练习：
1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为
2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根．
3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

x 0)2(2
2=++-+b ax x a a a a a a a a
4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

三：一元二次方程的求解方法
一、直接开平方法 ();0912
=--x 二、配方法
．
练习
1、如果二次三项式16)122++-x m x （
是一个完全平方式，那么m 的值是_______________
2、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

4、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

三、公式法
1、0822=--x x
2、01522=+-x x
四、因式分解法
1、x x 22=
2、0)32()1(22=--+x x
3、0862=+-x x
五、整体法
例：()()
=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式1：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式2：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

变式3：已知5)3)(1(2222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 。

四：一元二次方程中的代换思想（降次）
典例分析：
1、已知0232=+-x x
，求代数式()1
1123-+--x x x 的值。

2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

3、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .
4、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

五：根的判别式
1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

2、关于X 的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A 、＞9
B 、＜9且≠0
C 、＜9
D 、≤9且≠0
3、关于x 的一元二次方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是
( )
A.10≠≥且m m
B.0≥m
C.1≠m
D.1>m
4、对于任意实数m ，关于x 的方程一定（ ）
A. 有两个正的实数根
B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根
D. 没有实数根
0162=+-x kx k k k k k k k
课堂练习：
1、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线
x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4）
，并说明理由。

2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。

3、已知关于x 的方程06)2(2=-++-k x k x 有两个相等的正实数根，则k 的值是（ ）
A. B. C. 2或 D.
4、已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且关于x 的一元二次方程()()()04
322=---++c a x c a x b c 有两个相等的实数根，那么这个三角形是 。

5、如果关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 的实根个数是 。

6、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x
(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

7.用简便方法计算．
（1）－645×（－448）；
（2）（－64）×（－81）；
（3）1452－242；
（4）3c
2ab 5c 2÷325b 2a
8.已知25x ＝115，求x 的值．
9.
已知A B ==求11
11A B +--的值。

10.
已知1
1a a +=-+221
a a +的值。

11.已知2310x x -+=
12.已知()11039
322++=+-+-y x x x y x ，求的值。

13.已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242
(1)4a
a a ++⋅-的值。