离散型随机变量学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.知识点一随机变量思考1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？答案可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.思考2在一块地里种10棵树苗，棵数为x，则x可取哪些数字？答案x＝0,1,2,3， (10)(1)定义在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η…表示.知识点二随机变量与函数的关系思考随机变量和函数有类似的地方吗？答案随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.试验结果相当于函数的自变量，随机变量相当于函数的函数值，随机变量可以看作函数概念的推广.知识点三离散型随机变量1.定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.2.特征：(1)可用数值表示.(2)试验之前可以判断其出现的所有值.(3)在试验之前不能确定取何值.(4)试验结果能一一列出.类型一随机变量的概念例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由.(1)某机场一年中每天运送乘客的数量.(2)某单位办公室一天中接到电话的次数.(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数.(4)明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间.解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.(4)济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量.反思与感悟随机变量的辨析方法1.随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量.跟踪训练1下列变量中，不是随机变量的是()A.一射击手射击一次命中的环数B.标准状态下，水沸腾时的温度C.抛掷两枚骰子，所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数答案 B解析B中求沸腾时的温度是一个确定的值.类型二离散型随机变量的判定例2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.(1)白炽灯的寿命ξ；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；(4)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数.解(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量.(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.(3)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.(4)是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.反思与感悟“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.(2)由条件求解随机变量的值域.(3)判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量.跟踪训练2(1)①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④答案 B解析③中一天内的温度不能把其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量.(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.①列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值.②若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.解①列表如下：②由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量.类型三用随机变量表示随机试验的结果例3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.解(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球.(2) X＝3表示取出的球编号为1,2,3.X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果.跟踪训练3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟.解(1)ξ可取0,1,2,3，ξ＝0，表示遇到红灯的次数为0；ξ＝1，表示遇到红灯的次数为1；ξ＝2，表示遇到红灯的次数为2；ξ＝3，表示遇到红灯的次数为3.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.1.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是()A.出现正面的次数B.出现正面或反面的次数C.掷硬币的次数D.出现正、反面次数之和答案 A解析掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件.故选A.2.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A.取到产品的件数B.取到正品的概率C.取到次品的件数D.取到次品的概率答案 C解析对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量.3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个.答案17解析X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个.4.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果.解根据题意可知ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出.1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.2.写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值.一、选择题1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()A.两次掷得的点数B.两次掷得的点数之和C.两次掷得的最大点数D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差答案 A解析两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数.2.下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为()A.①②B.③④C.①③D.②④答案 C解析①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点答案 C4.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是( ) A.Y ＝5 B.Y ＝4 C.Y ＝3 D.Y ＝2答案 B5.一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为( ) A.6 B.5 C.4 D.2 答案 B解析 由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B. 6.袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( ) A.25 B.10 C.15 D.9 答案 D解析 两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个. 二、填空题7.下列变量中，不是随机变量的是________(填序号). ①下一个交易日上证收盘指数； ②标准大气压下冰水混合物的温度； ③明日上课某班(共50人)请假同学的人数； ④小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，小胡在线，0，小胡不在线.答案 ②8.从5张已编号(1号～5号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和记为X ，则X ＝6表示的试验结果是_______________________________________. 答案 取出分别标有1,5或2,4的两张卡片.9.一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种. 答案 21解析 ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C 27种方法，即21种.10.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X，随机变量X的可能值有________个.答案24解析后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A34＝24(个).11.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________.答案－300，－100,100,300解析因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.三、解答题12.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果.解ξ＝0,1,2,3,4,5.ξ＝k(k＝0,1,2,3,4)表示在遇到第k＋1盏信号灯时首次停下.ξ＝5表示在途中没有停下，直达目的地.13.小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值，并说明这些取值表示的随机试验结果. 解X的可能取值为6,11,15,21,25,30.其中，X＝6，表示抽到的是1元和5元；X＝11，表示抽到的是1元和10元；X＝15，表示抽到的是5元和10元；X＝21，表示抽到的是1元和20元；X＝25，表示抽到的是5元和20元；X＝30，表示抽到的是10元和20元.。