2．1.1离散型随机变量[学习目标] 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.3.会用离散型随机变量描述随机现象．知识点一随机变量1．随机试验一般地，一个试验如果满足下列条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．2．随机变量在随机试验中，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．3．随机变量与函数的联系与区别(1)联系：随机变量与函数都是映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．(2)区别：函数f(x)的自变量是x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果(即样本点)．思考随机变量是自变量吗？答案不是．它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．知识点二离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．思考离散型随机变量的取值必须是有限个吗？答案不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以无限个．题型一随机变量的概念例1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(3)某个人的属相随年龄的变化；(4)在标准状况下，水在0℃时结冰．解(1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(3)属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．(4)标准状况下，在0℃时水结冰是必然事件，不是随机变量．反思与感悟解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．跟踪训练1某学生上学的路上有6处红绿灯．(1)在每个红绿灯路口因红灯停留的时间之和是随机变量吗？(2)在上学路上遇到的红灯的个数是随机变量吗？解(1)是随机变量．在上学的路上因红灯停留的时间之和都与一个非负实数对应，因此在每个红绿灯路口因红灯停留的时间之和是一个随机变量．(2)是随机变量．在上学路上遇到的红灯的个数都与0,1,2,3,4,5,6这7个数字之一相对应，因此在上学路上遇到的红灯的个数是一个随机变量．题型二离散型随机变量的判定例2某校为学生订做校服，规定：凡身高(精确到1cm)不超过160cm的学生交校服费80元；凡身高超过160cm的学生，身高每超出1cm多交5元钱．若学生应交校服费为η(单位：元)，学生身高为ξ(单位：cm)，则η和ξ是否为离散型随机变量？解由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并且ξ取整数值，因此ξ是一个离散型随机变量，而η＝⎩⎪⎨⎪⎧80(ξ≤160)，(ξ－160)×5＋80(ξ＞160)，所以η也是一个离散型随机变量．反思与感悟 离散型随机变量的判定方法判断一个随机变量X 是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X 的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．跟踪训练2 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场树木最高达30m ，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．解 (1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．题型三 随机变量的应用例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示结果的随机试验．(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ；(2)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ.解(1)ξ可取0,1,2.ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，(3－i)个黑球，其中i＝0,1,2.(2)ξ可取3,4,5.ξ＝3表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.反思与感悟随机变量从本质上讲就是以随机试验的每个结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值本质上是试验结果对应的数，起到了描述随机事件的作用．这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．跟踪训练3一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种．答案20解析从6个球中选出3个球，当ξ＝3时，另两个球从1,2中选取，有一种抽法；当ξ＝4时，另两个球从1,2,3中选取，有C23＝3(种)；当ξ＝5时，另两个球从1,2,3,4中选取，有C24＝6(种)；当ξ＝6时，另两个球从1,2,3,4,5中选取，有C25＝10(种)．所以，ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20(种)．对题意理解不准致误例4甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．错解(1)X＝0表示：甲没抢到题，乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错1个题；(2)X＝1表示：甲抢到1题且答对，乙抢到2题且1对1错或甲抢到3题，且2对1错；(3)X＝2表示：甲抢到2题均答对；(4)X＝3表示：甲抢到3题均答对．答案0,1,2,3错因分析错误的根本原因是对题意分析不准确，漏掉“甲抢1题但答错了，而乙抢到2题都答错”．即X＝－1.正解(1)X＝－1表示：甲抢到1题但答错了，而乙抢到2题都答错了．(2)X＝0表示：甲没抢到题，乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题，但答时1对1错，而乙答错1题．(3)X＝1表示：甲抢1题且答对，乙抢到2题且1对1错或全错或甲抢到3题，且2对1错．(4)X＝2表示：甲抢到2题均答对．(5)X＝3表示：甲抢到3题均答对．答案－1,0,1,2,3点评对于随机变量的所有可能值，一定要理解透题意，把各种情况列全．1．下列叙述中，是离散型随机变量的为()A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性答案C解析选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量．选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量．选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.2．掷均匀硬币一次，随机变量为()A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D ．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和答案 B解析 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，设为ξ，ξ的取值是0,1.A 项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C 项中的标准模糊不清；D 项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.3．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )A ．取到产品的件数B ．取到正品的概率C ．取到次品的件数D ．取到次品的概率答案 C解析 对于A 中取到产品的件数是一个常量不是变量，B 、D 也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．4．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是( )A ．2枚都是4点B ．1枚是1点，另1枚是3点C ．2枚都是2点D ．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点答案 D解析 抛掷2枚骰子，其中1枚是x 点，另1枚是y 点，其中x ，y ＝1,2， (6)而ξ＝x ＋y ， ξ＝4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.5．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X ；②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X ；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X ；④虎门大桥一天经过的车辆数X .答案 ②解析 ①③④中的随机变量X 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．一、选择题1．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是() A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率答案B解析随机变量为一个变量，取到产品是必然事件，故选项A不是随机变量．取到正品是随机事件，故选项B是随机变量，概率是数值，故选项C，D都不是随机变量．2．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色的种数答案D解析A．小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B.倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C.三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量；D.颜色的种数是一个离散型随机变量．3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标答案 C解析 ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．4．下列变量中是随机变量而且是离散型随机变量的是( )A ．某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差XB ．将一枚硬币抛掷三次，出现正面朝上的次数XC ．抛掷一枚六个面都是六个点的均匀骰子，所得的点数XD ．某人上班路上所花的时间X答案 B解析 选项A 和选项D 中的变量X 的取值为某一范围内的实数，无法按一定次序一一列举出来，不是离散型随机变量；选项B 中的变量X 的取值可以一一列举出来，是离散型随机变量；选项C 中的X 为常数6，唯一确定，不是随机变量．5．已知：①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X ；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X ；③篮球下降过程中离地面的距离X ；④某人射击2次，击中目标的环数之和记为X .其中不是离散型随机变量的是( )A ．①中的XB ．②中的XC ．③中的XD ．④中的X 答案 C解析 ①②④中的随机变量X 可能的取值都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量．③中的X 可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故③中的X 不是离散型随机变量．6．设实数x ∈R ，记随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ∈(0，＋∞)，0，x ＝0，－1，x ∈(－∞，0).则不等式1x≥1的解集所对应的ξ的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或0答案 A解析 解1x≥1得其解集为{x |0＜x ≤1}，∴ξ＝1. 7．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是()A．6B．7C．10D．25答案C解析X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个．二、填空题8．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是________．答案9解析两个球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．9．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．答案21解析ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C27种方法，即21种．10．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．答案24解析后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A34＝24(个)．三、解答题11．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．解X的可能取值为6,11,15,21,25,30.其中，X＝6，表示抽到的是1元和5元；X＝11，表示抽到的是1元和10元；X＝15，表示抽到的是5元和10元；X＝21，表示抽到的是1元和20元；X＝25，表示抽到的是5元和20元；X＝30，表示抽到的是10元和20元．12．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.写出随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果．解因为x，y可能取的值为1,2,3，所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0,1,2,3用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)．ξ＝1表示(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)ξ＝2表示(1,2)，(3,2)ξ＝3表示(1,3)，(3,1)．13．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)抛掷一枚骰子两次，第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差的绝对值Y；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数ξ.解(1)Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.用(a，b)表示一次基本事件，第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b.Y＝0表示两次掷骰子的点数相同，其包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．Y＝1表示两次掷骰子的点数相差1，其包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)．Y＝2表示两次掷骰子的点数相差2，其包含的基本事件有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)．Y＝3表示两次掷骰子的点数相差3，其包含的基本事件有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)．Y＝4表示两次掷骰子的点数相差4，其包含的基本事件有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)．Y＝5表示两次掷骰子的点数相差5，其包含的基本事件有(1,6)，(6,1)．(2)ξ的可能取值为0,1，…，n(n∈N)．ξ＝i表示被呼叫i次，其中i＝0,1,2，…，n(n∈N)．。