《经济应用数学》复习题及参考答案一、 是非题1．32213x x y x -+=-的定义域为),(∞+-∞.错2.函数y =. 错3. 22sin ()1xf x x =+是奇函数. 对 4. 2sin ()cos2x f x x x=是偶函数. 错5. 221()x f x x-= 0x =为可去间断点. 错6. y =的间断点为1x =±. 错7. 若lim ()0x af x →=，lim ()0x ag x →=.则一定有()lim0()x af xg x →=. 错 8．若0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==，则必有0lim ()x x f x a →=.对 9.设()f x 在0x 可导，则0000()()lim'()x x f x f x f x x x →-=-.对10.当1x →时，4sin 1xx e x +-是无穷大量 .对11. 设)(x f 在a x =点处连续，则有()()f x f a '=.错 12. 设)(x f 在a x =点处连续，则有lim ()()x af x f a →=.对13. 若)(x f 在a x =点处的导数()f a '存在，则有)(x f 在a x =点处连续. 对 14. 若0()0f x ''=，则00(,())x f x 一定是曲线()y f x =的拐点. 错 15. 某区间上的最小值一定是该区间上的极小值. 错 16. 32xy ex =+在),(+∞-∞ 上为单调增函数. 对17.52xy e x =+在),(+∞-∞ 上为单调增函数.对 18．若()f x 为边际成本函数（x 为产量），则()x f x dx ⎰为总成本函数.对19. 若224)(3+-=x x x C 为总成本函数（x 为产量），则212)('-=x x C 为边际 成本. 对20. 若()f x 为边际收益函数（x 为产量），则0()()xF x f x dx =⎰为总收益函数. 对二、填空题1.函数y =的定义域是（ (,1][3,)-∞⋃+∞ ）.2.函数1lg1y x=- [3,1)- ）. 3. 函数22()21x f x x x -=--的连续区间是（ (,1)(1,)-∞⋃+∞ ）.4.设2112sin,0,(),0.x x f x xa x x ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩在0=x 连续，则=a （ 1 ）.5. 函数5412)(22-++-=x x x x x f 的间断点是（ 5,1x x =-= ）.6.极限01limx x→=（ 0 ）. 7. 设sin limx x xx→∞+= （ 1 ）.8. 导数6(sin 1)4[]x d e dx dx +=⎰（ 0 ）.9.=⎰x dt t dx d 224sin [（ 416sin 2x ）. 10.=++⎰]1ln [622dx x x e dx d x （ 0 ）. 11. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩的导数dy dx =（ 32t ）.12. )(x f 一个原函数为sin x ，则⎰=dx x f )('（ cos x C -+ ）.13. 若)()('x f x F = ，则=⎰dx x f )(（ ()F x C + ）.14.已知xx F 1)('=，且)()(x f x F 为的原函数，则=⎰dx x f )(（ ln x C + ）.15.2=（ π ）.16. 定积分22021xdxx =+⎰（ ln5 ）.17. 定积分333sin xdx -=⎰（ 0 ）.18.已知总利润函数1025.04)(43-+=x x x L ，则边际利润函数为 （ 2312x x + ）（x 为产量）. 19.已知某商品的需求函数为210p e Q -=)(为价格p ，则边际需求函数为（ 25pe-- ）.20.已知总利润函数1025.04)(43-+=x x x L ，则边际利润函数为（ 2312x x + ）（x 为产量）.三、选择题1.a a x f x x ()(lim 0=→为常数），则)(x f 在0x 处 （ D ）A.一定有定义B.一定无定义C.有定义且a x f =)(0D.可以有定义也可以无定义2. 当2→x 时，2312x x x ++-是（ B ）A ．无穷小量B ．无穷大量C ．有极限为1D ．-1 3.=+∞→xx x)411(lim （ D ） A ．e B ．1 C ．不存在 D ．41e4. 0sin3lim3x xx→= （ A ）A ．1B ．0C ．不存在D ．3 5.xxx 3tan lim0→= （ D ）A ．1B ．0C ．不存在D ．36.=--→11lim21x x x （ D ） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．2 7.下列等式中正确的是 （ D ）A ．1sin lim =∞→x x xB ． 12sin lim 0=→xxxC ．111sinlim0=→xx x D ． 01sin lim 0=→xx x 8．极限1lim x xx+→= ( A ). A .1 B. -1 C. 0 D. ∞ 9．设122=+y x ，则dxdy=（ D ） A ．21x x - B ．xyC ．y xD ． y x -10．下列等式正确的是（ C ） A ．)(ln 12x d dx x= B ．)(cos sin x d xdx = C ．)(cos sin x d xdx =- D ．)(xxa d dx a =11.下列函数中，在0=x 不可导的是 （ C ） A ．x y cos = B ．xy 3= C ．x y ln = D ．x y arcsin = 12. 当0x →时，11-+=x α与24-+=x β的关系是（ B ）A ．α是与β等价的无穷小量B ．α是比β同阶但不等价的无穷小量C ．α是比β高阶的无穷小量D ．α是比β低阶的无穷小量13. 在下列函数中，在0=x 可导的是 （ A ） A ．x y arcsin = B ．ln y x = C ．xy 1=D．y =14．设()(1)(2)(3),f x x x x x =---则()0f x '=有( C )个实根. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 15．若xe -是)(xf 的一个原函数，则dx x f ⎰)2('＝（ D ）.A.－x e 221- B.c e x +-221 C.x e 2-- D.c e x +--22116. 如果在一个连续函数在闭区间上既有极大值又有极小值,则( D ) A. 极大值一定是最大值 B. 极小值一定是最小值C. 极大值一定比极小值大D. 极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值 17. 下列积分不是广义积分的是（ B ） A ．dx x⎰--11211 B ．dx e x ⎰10C ．⎰∞+-431dx x D ．dx xx e ⎰1ln 118. 若xe -是)(xf 的一个原函数，则dx x f ⎰)2('＝ （ D ）； A.－x e 221- B.c e x +-221 C.x e 2-- D.c e x +--22119．不定积分=⎰( C ).A. 5252x C -+B. 5252x C +C. 5225x C +D. 5225x C -+20. )(x f 设是以T 为周期的连续函数，那么定积分()a TaI f x dx +=⎰的值( C ),其中a 为任意常数.A. 与T 无关B. 与,T a 都无关C. 与a 无关D. 与,T a 都有关四、计算题1．求极限2121lim2x x t dtx x→+⎰解：原式211lim415x x x →==+2．求极限)1arcsin(225lim 230+-→x x x解：原式=1arcsin 22-=π2-3．求极限202arctan limx x tdt x→⎰ .解：“”型，用罗比达法则，得 ）（）（原式''=⎰→2002arctan lim x tdt x xxx x x 2arctan 2lim 20⋅=→2arctan lim x x →==0 4．求极限0lim3x t x te dt x→⎰.解：“”型，用罗比达法则，得 原式0()lim(3)xt x te dt x →'='⎰0lim 03xx xe →== 5．设222()()4xx f t dtF x x =-⎰，其中)(x f 为连续函数，求极限2lim ()x F x →.解： 因为)(x f 为连续函数，“”型，所以由罗必大法则 原式()2222()lim2xx x f t dt x f x x→+=⎰()2.f =6．设2sin 43xy x e=++，求二阶导数"y .解：xe x y 224cos 4'+= ,则，"y = 2416sin 4x e x - 7．设2sin arcsin 32++=xex y ，求dy .dx x e x x dy x )0)'3(12(34++-== dx e x x x )312(34+-8．设23sin sin 2xy x e=++，求微分dy .解： 232cos 3xy x x e '=+ .23(2cos 3)xdy x x e dx =+9．设2sin arcsin 32++=x e x y ，求导数y '解：3(3)'0x y e x '=++33x e +10．不定积分dx xx ⎰-21arcsin解：arcsin (arcsin )xd x ⎰21(arcsin )2x C =+ 11．求不定积分dx x x ⎰ln . 解：dx x x ⎰ln =⎰2ln 21xdx =⎰-xdx x x 21ln 212 2211ln 24x x x C =-+ 12．求不定积分2251x dx x++⎰ 解：原式2221411411x dx dx dx x x ++==+++⎰⎰⎰4arctan x x C =++13．计算定积分21(1)x x dx -+-⎰.解：原式01(1)x x dx -=-+-⎰10(1)x x dx ++-⎰ 21(1)5x x dx +-+=⎰14．求定积分24x xe dx -⎰解：原式24201()2x e d x -=--⎰ 2401[]2x e -=-161(1)2e -=--15. 求定积分21-⎰.解：原式211dx --=+⎰⎰(211212022x dx dx x-=+=-⎰⎰⎰22242ππ=-=-五、应用题1．某厂生产某种产品，每日生产的产品总成本y 的变化率（即边际成本）是日产量x 的函数23x +，其中固定成本为300元. 求：(1) 总成本与日产量x 之间的关系；(2 )日产量x =100时的总成本. 解：(1) 总成本C x x dx xx y ++=+=⎰322323)23( 由已知0=x 时300=y ,解得C=300.则总成本与日产量x 之间的关系为：3003323++=x x y (2)日产量x =100时的总成本为：3001003100323++=y2．已知生产某产品x 个单位时，边际收益为2()300(/)50x f x =-元单位，试求生产x 单位时的总收益()F x 及平均单位收益()F x . 解：（1）生产x 单位时的总收益230()()(300)30050150xxx x F x f x dx dx x ==-=-⎰⎰（2）平均单位收益2()()300150F x x F x x ==- 3．已知某边际利润函数为()1010L x x=++（单位：万元）. 求：(1)生产x 个单位产品的总利润；(2)产量100=x 个单位时的总利润. 解：(1) 总利润()(1010)xR x x dx =++⎰2510x x =++(2) 2(100)51001010051020R =⨯+⨯=（万元）4. 已知某产品总产量的变化率是时间x （单位：年）的函数()25(0)f x x x =+≥，求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少.解： 第一个五年的总产量为52500(25)[5]50x dx x x +=+=⎰第二个五年的总产量为1021055(25)[5]15050100x dt x x +=+=-=⎰。