6. 相关函数的估计（循环相关）6.1. 相关函数与协方差函数 6.1.1. 自相关函数和自协方差函数1、 自相关和自协方差函数的定义相关函数是随机信号的二阶统计特征，它表示随机信号不同时刻取值的关联程度。

设随机信号)(t x 在时刻j i t t ,的取值是j i x x ,，则自相关函数的定义为ji j i j i j iNn n jn iN j i j i x dxdx t t x x f x xx xNx x E t t R ⎰⎰∑====∞→),;,(1lim ][),(1)()(式中，上角标“（n ）”是样本的序号。

自协方差函数的定义与自相关函数的定义相似，只是先要减掉样本的均值函数再求乘积的数学期望。

亦即：ji j i j i x j x iNn x n jx n iN x j x i j i x dxdx t t x x f m x m xm x m xNm x m x E t t C j i j i j i ⎰⎰∑--=--=--==∞→),;,())(())((1lim )])([(),(1)()(当过程平稳时，);,(),;,(τj i j i j i x x f t t x x f =。

这时自相关函数和自协方差函数只是i j t t -=τ的函数，与j i t t ,的具体取值无关，因此可以记作)(τx R 和)(τx C 。

对于平稳且各态历经的随机信号，又可以取单一样本从时间意义上来求这些统计特性：时间自相关函数为：⎰+-∞→+=22)()(1lim)(TT T x dt t x t x TR ττ时间自协方差函数为：⎰+-∞→-+-=22])(][)([1lim)(TT x x T x dt m t x m t x TC ττ在信号处理过程中，有时会人为地引入复数信号。

此时相应的定义变成][),(*j i j i x x x E t t R =)]()[(),(*j i x j x i j i x m x m x E t t C --=式中，上角标*代表取共轭。

2、 自相关和自协方差函数的性质自相关和自协方差函数的主要性质如下：（1） 对称性当)(t x 时实函数时，)(τx R 和)(τx C 是实偶函数。

即)()(),()()()(),()(**ττττττττx x x x x x x x C C R R C C R R =-=-==当)(t x 时复值函数时，)(τx R 和)(τx C 具有共轭对称性。

即)()(),()(**ττττx x x x C C R R =-=-（2） 极限值)(,)()0(,)0(2=∞=∞==x x x xx x x C m R C D R σ（3） 不等式 当0≠τ时，)()0(),()0(ττx x x x C C R R ≥≥因此，)0()()(x x x R R ττρ=是一个小于等于1的无量纲量，称为自相关系数。

（4） 自相关和自协方差函数之间的关系一般情况下：j i x x j i x j i x m m t t C t t R +=),(),(平稳情况下：2)()(x x x m C R +=ττ（5） 非负定性当)(t x 是实函数时，取一组离散时刻N t t t ,,,21 和一组对应的任意实数N k k k ,,,21 ，则必有0)(11≥-∑∑==j Ni Nj i j i xk k t t R当)(t x 是复值函数时，相应的系数也是复值时，则有0)(*11≥-∑∑==j Ni Nj i j i xk k t t R6.1.2. 互相关函数和互协方差函数1、 互相关和互协方差函数的定义自相关函数和自协方差函数用来描述是单一随机信号的统计特征。

对于两个不同的随机信号则要采用互相关函数和互协方差函数来表示两个随机信号的不同时刻取值的关联程度。

设随机信号)(t x ,)(t y ，在时刻j i t t ,的取值是j i y x ,，则互相关函数的定义为ji j i j i j iNn n jn iN j i j i xy dydx t t y x f y xy xNy x E t t R ⎰⎰∑====∞→),;,(1lim ][),(1)()(式中，上角标“（n ）”是样本的序号。

互协方差函数的定义与互相关函数的定义相似，只是先要减掉样本的均值函数再求乘积的数学期望。

亦即：ji j i j i y j x iNn y n jx n iN y j x i j i xy dydx t t y x f m y m xm y m xNm y m x E t t C j i j i j i ⎰⎰∑--=--=--==∞→),;,())(())((1lim )])([(),(1)()(当过程平稳时，);,(),;,(τj i j i j i y x f t t y x f =。

这时互相关函数和互协方差函数只是i j t t -=τ的函数，与j i t t ,的具体取值无关，因此可以记作)(τxy R 和)(τxy C 。

对于平稳且各态历经的随机信号，又可以取单一样本从时间意义上来求这些统计特性：时间互相关函数为：⎰+-∞→+=22)()(1lim)(TT T xy dt t y t x TR ττ时间互协方差函数为：⎰+-∞→-+-=22])(][)([1lim)(TT y x T xy dt m t y m t x TC ττ在信号处理过程中，有时会人为地引入复数信号。

此时相应的定义变成][),(*j i j i y y x E t t R =)]()[(),(*j i y j x i j i xy m y m x E t t C --=式中，上角标*代表取共轭。

2、 互相关和互协方差函数的性质互相关和互协方差函数的主要性质如下：（1） 对称性当)(t x 时实函数时，)(τxy R 和)(τxy C 是实偶函数。

即)()(),()()()(),()(**ττττττττxy xy xy xy xy xy xy xy C C R R C C R R =-=-==当)(t x 时复值函数时，)(τxy R 和)(τxy C 具有共轭对称性。

即)()(),()(**ττττxy xy xy xy C C R R =-=-（2） 极限值)(,)(=∞=∞xy y x xy C m m R（3） 不等式[])0()0(21)(,)0()0()(y xxy y x xy R RR R R R +≤≤ττ（4） 互相关与互协方差之间的关系一般情况下：j i y x j i xy j i xy m m t t C t t R +=),(),(平稳情况下：y x xy xy m m C R +=)()(ττ6.2. 相关函数的直接估计(线性相关)1. 线性相关自相关函数的直接估计是根据定义，但是采用离散时间样本来计算的。

根据定义有：⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∑⎰-=+∞→+-∞→10221lim)()()(1lim)(N n m n n N x TT T x x x N m R dtt x t x TR ττ因此，当有限的数据点数N ，自相关函数的估计公式是：,2,1,0,1)(ˆ10±±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑--=+m x x N m R m N n m n n x注意，上式中的求和项总数不是N ，而是m N -。

因为当1--=m N n 时，1-=+N m n ，此时mn x +已经到达了N 点数据序列的边沿上。

2. 估计偏差自相关函数的直接估计的偏差：[][])(1)(ˆ10m R Nm N x x E N m R E x m N n m n n x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑--=+可见，直接根据定义给出的自相关函数估计是有偏的，但是渐进无偏的。

根据这一估计偏差公式，还可以看出：延迟值m 俞大，估计的偏差也俞大。

这是因为当数据序列的总点数N 有限时，m 俞大，求和时可利用的数据俞少。

作为特例，当N m =，[]0)(ˆ=m R E x，此时偏差与相关函数值相等。

为了使估计无偏，可以对估计公式修正，按照下式进行无偏修正估计：,2,1,0,1)(ˆ1±±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑--=+m x x m N m R m N n m n n x3. 估计方差自相关函数的方差特性分析要设计到随机过程的四阶矩,推导比较困难。

这里，给出对于高斯型随机过程，自相关函数有偏估计的方差公式：[][])()()(11)(ˆ21)1(n m R n m R n R N n m N m R Var x x x m N m N n x-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑-----= 自相关函数无偏修正估计的方差公式：[]()[])()()(1)(ˆ21)1(2n m R n m R n R N n m mNNm R Var x x xm N m N n x-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=∑-----= 从上式可以看到，当∞→N 时，上述两种估计的方差都趋于零。

可以证明，即使随机过程不是高斯分布的，这一结论也成立。

不过，当数据序列点数N 有限，并且N m →时，无偏估计式的估计方差太大，远大于有偏估计式的估计方差，所以，实际应用中多采用有偏估计式。

实际工程中相关函数的应用价值，主要是根据相关函数的主峰值确定两个信号之间的时延值，这也是采用有偏估计式的另一个原因。

如果不考虑估计的计算工作量，采用直接估计算法，已经可以解决自相关函数的估计问题。

一般地，要求m N >>，通常要求样本点数N 为最大时延值m 的20倍以上。

在实际应用中，通常采用相关方法，确定两个信号间的时延值，为了达到较高的时间分辨率，采样频率较高，最大延时值m 一般较大，从而N 就很大，按照估计式就需要2/2N 次乘法运算。

例如时延点数取1024点，则数据样本点数至少要达到2万点，估计一次相关函数，至少要进行2万次乘法运算。

由于计算量非常大，不能满足实时估计的要求。

4. 直接估计算法需要说明的是，上述估计公式是理论推导过程，在计算机上实施的实际估计算法公式是：自相关函数的估计式：)1(,2,1,0,1)(ˆ10-±±±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑--=+N m x x N m R m N n m n n x如果先减掉信号的均值再进行计算，就得到自协方差函数的估计：)1(,,2,1,0,1)(ˆ10-±±±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑--=+N m x x N m C m N n m n n x互相关函数和互协方差函数也可以用类似算法来估计，只要把自相关或自协方差函数估计式中的一个信号用n y 代替即可。