平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质4 将观测向量u(n)元素倒排，定义向量
uB(n)= [u(n-M+1) u(n-M+2) … u(n)]T
这里，下标B表示对向量u(n)内各分量做反序排列， 则向量uB(n)的相关矩阵可以表示为
RB E u B n u B H n r (0) r * (1) r * ( M 1) r (1) r (0) r * ( M 2) r (0) r ( M 1) r ( M 2) RT C M M
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质3 平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的，
且几乎总是正定的。 证明：设a∈Cm×1为任意非零向量，由于二次型
a H Ra a H E u (n) u H (n) a E a H u ( n) u H ( n) a E a u ( n ) a u ( n )
根据相关函数共轭对称性，即r(-m)=r* (m) ，上式又 可重写为
r (0) r ( 1) R r ( M 1) r (1) r (0) r ( M 2) r ( M 1) r ( M 2) r (0)
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质1 特征值λ1、λ2、·· M都是实数，且是非 ·、λ 负的。 性质2 对任意整数k>0，矩阵Rk的特征值为λk1、 λk2、·· kM。 ·、λ 性质3 若特征值λ1、λ2、·· M各不相同，则特 ·、λ 征向量q1、q2、·· M相互正交。 · 、q
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
因此，对于一个平稳随机过程，只需自相关函数r (m) 的M个值就可以完全确定相关矩阵R。
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 二、自相关矩阵的基本性质
性质1 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite 矩阵， 即有
RH=R
性质2 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz矩阵。 结论：如果离散时间随机过程是广义平稳的，则它的自 相光矩阵R一定是Toeplitz矩阵；反之，如果自相关矩阵R为 Toeplitz矩阵，则该离散时间随机过程一定是广义平稳的。
T
r (0) r (1) R r ( M 1)
r (1) r (0) r ( M 2)

r ( M 1) r ( M 2) C M M r (0)
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
其中，r(m)是随机过程u(n)的自相关函数，为 r(m)=E{u(n)u*(n-m) } 。
H H H H
E a u ( n)
H

2
0

平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 故相关矩阵R总是非负定的。当且仅当 观测向量的每个随机变量间存在线性关系 时，等式成立，这种情况仅出现在随机过 程u(n) 是由K个纯复正弦信号之和组成。 实际中，由于不可避免地存在加性 噪声，故平稳离散时间随机过程的相关 矩阵几乎总是正定的。
平稳随机过程的自相关 矩阵及其性质
硕研2012-3 杨波
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
主要内容
一、自相关矩阵的定义 二、自相关矩阵的基本性质 三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性质
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 一、自相关矩阵的定义
对离散时间平稳随机过程，用M个时刻的随机变量 u(n),u(n-1), … u(n-M+1)构造随机向量 u(n)= [u(n) u(n-1) … u(n-M+1)]T (1) u n u n 随机过程u(n)的自相关矩阵定义为 R= E{u(n) uH(n) } (2) 将式(1)代入(2)，并考虑平稳条件，得其展开形式
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 三、自相关矩阵的特征值与特征向量的性 质
对平稳随机过程的自相关矩阵R进行特征值分解， 设向量q1、q2、·· M 分别是特征值λ1、λ2、·· M · 、q ·、λ ������ 所对应的特征向量，即
Rqi i qi
i 1,, M
通过对自相关矩阵R进行特征值分解，可以得到随 机过程u (n) 的某些统计信息，这便是离散时间随机过 程的特征值分析方法，是统计信号处理的基础。 下面介绍自相关矩阵的特征值和特征向量的性质。

平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质5 平稳离散时间随机过程的自相关矩阵R从M维扩 展为M+1维，有如下递推关系:
RM R M 1 H rB
或等价地,有
* rB r 0
r 0 r H R M 1 RM r
其中 r H r 1 r 2 r M T rB r M r M 1 r 1
tr ( R) Mr (0) i
i 1 M
性质6 Karhunen-Loeve展开
平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
性质4 若特征值λ1、λ2、·· M各不相同，是相应的归 ·、λ 一化特征向量，即
1, q qi 0,
H i
i j i j
定义矩阵
Q q1
q2
பைடு நூலகம்
qM
diag 1
2
M
则矩阵是酉矩阵，且相关矩阵可对角化为
QH RQ
性质5 特征值之和等于相关矩阵的迹，即