模拟题（二）西安电子科技大学网络教育 2010学年上学期期末考试试题课程名称：__ 计算方法 考试形式： 开 卷学习中心：_________ 考试时间： 120分钟姓 名：_____________ 学 号：一 选 择（每题3分，合计42分）1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。

A 、3 B 、4 C 、5 D 、62. 取73.13≈（三位有效数字），则≤-73.13 。

A 、30.510-⨯B 、20.510-⨯C 、10.510-⨯D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。

A 、注意简化计算步骤，减少运算次数B 、要避免相近两数相减C 、要防止大数吃掉小数D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x及常向量g ，迭代过程g x B xk k+=+)()1(收敛的充分必要条件是_ _。

A 、11<B B 、1<∞BC 、1)(<B ρD 、21B <5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k 步，选列主元)1(-k rk a ，使得)1(-k rk a ＝ 。

A 、 )1(1max -≤≤k ikni a B 、 )1(max -≤≤k ikni k a C 、 )1(max -≤≤k kjnj k a D 、 )1(1max -≤≤k kjnj a6. 设ƒ(x)= 5x 3－3x 2＋x ＋6，取x 1=0，x 2=0.3，x 3=0.6，x 4=0.8，在这些点上关于ƒ(x)的插值多项式为3()P x ，则ƒ(0.9)-3(0.9)P =__________。

A 、0 B 、0.001 C 、0.002 D 、0.0037. 用简单迭代法求方程f (x )=0的实根，把方程f (x )=0转化为x =ϕ(x ),则f (x )=0的根是： 。

A 、y =x 与y =ϕ(x )的交点B 、 y =x 与y =ϕ(x )交点的横坐标C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标D 、 y =ϕ(x )与x 轴交点的横坐标 8. 已知x 0＝2，f (x 0)=46，x 1＝4，f (x 1)=88，则一阶差商f [x 0, x 1]为 。

A 、7 B 、20 C 、21 D 、429. 已知等距节点的插值型求积公式()()463kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么4kk A==∑_____。

A 、0B 、2C 、3D 、910. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求____。

A 、0≠ij aB 、0)0(11≠aC 、0)(≠k kk a D 、0)1(≠-k kka 11. 如果对不超过m 次的多项式，求积公式)()(0k bank k x f A dx x f ⎰∑=≈精确成立，则该求积公式具有 次代数精度。

A 、至少m B 、 m C 、不足m D 、多于m 12. 计算积分211dx x⎰，用梯形公式计算求得的值为 。

A 、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、2.513. 割线法是通过曲线上的点))(,()),(,(11k k k k x f x x f x --的直线与 交点的横坐标作为方程0)(=x f 的近似根。

A 、y 轴B 、x 轴C 、x y =D 、)(x y ϕ=14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是____。

A 、 2次 B 、3次 C 、4次 D 、5次二、计 算（共58分）1. 将方程3210x x --=写成以下两种不同的等价形式：①211x x =+；②x =试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。

（8分）2. 设方程f (x )=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。

（8分）3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分12041dx x +⎰的近似值，要求总共选取9个节点。

（10分）4. 用列主元高斯消去法解下列方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20111.0310********x x x （8分）5. 给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(,2053)2(,18252)1(,1432321321321x x x x x x x x x写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。

（8分）6. 已知函数试构造三次拉格朗日插值多项式P n (x )（8分）7.⎪⎩⎪⎨⎧=-=1)0(2y y x y dxdy在区间[0, 0.8]上，取h = 0.1，用改进欧拉法求解初值问题。

要求计算过程至少保留小数点后4位数字。

（8分）答 案一、选 择1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 B 位有效数字。

A 、3 B 、4 C 、5 D 、62. 取73.13≈（三位有效数字），则≤-73.13 B 。

A 、30.510-⨯B 、20.510-⨯C 、10.510-⨯D 、0.5 3. 下面_ D _不是数值计算应注意的问题。

A 、注意简化计算步骤，减少运算次数B 、要避免相近两数相减C 、要防止大数吃掉小数D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x 及常向量g ，迭代过程g x B x k k+=+)()1(收敛的充分必要条件是_C_。

A 、11<B B 、1<∞BC 、1)(<B ρD 、21B <5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k 步，选列主元)1(-k rk a ，使得)1(-k rk a ＝ B 。

A 、 )1(1max -≤≤k ikni a B 、 )1(max -≤≤k ikni k a C 、 )1(max -≤≤k kjnj k a D 、 )1(1max -≤≤k kjnj a6. 设ƒ(x)= 5x 3－3x 2＋x ＋6，取x 1=0，x 2=0.3，x 3=0.6，x 4=0.8，在这些点上关于ƒ(x)的插值多项式为3()P x ，则ƒ(0.9)-3(0.9)P =_____A_____。

A 、0 B 、0.001 C 、0.002 D 、0.0037. 用简单迭代法求方程f (x )=0的实根，把方程f (x )=0转化为x =ϕ(x ),则f (x )=0的根是： B 。

A 、y =x 与y =ϕ(x )的交点B 、 y =x 与y =ϕ(x )交点的横坐标C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标D 、 y =ϕ(x )与x 轴交点的横坐标 8. 已知x 0＝2，f (x 0)=46，x 1＝4，f (x 1)=88，则一阶差商f [x 0, x 1]为 C 。

A 、7 B 、20 C 、21 D 、429. 已知等距节点的插值型求积公式()()463kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么4kk A==∑__C___。

A 、0B 、2C 、3D 、910. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求__C__。

A 、0≠ij aB 、0)0(11≠aC 、0)(≠k kk a D 、0)1(≠-k kka 11. 如果对不超过m 次的多项式，求积公式)()(0k bank k x f A dx x f ⎰∑=≈精确成立，则该求积公式具有 A 次代数精度。

A 、至少m B 、 m C 、不足m D 、多于m 12. 计算积分211dx x⎰，用梯形公式计算求得的值为 A 。

A 、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、2.513. 割线法是通过曲线上的点))(,()),(,(11k k k k x f x x f x --的直线与 B 交点的横坐标作为方程0)(=x f 的近似根。

A 、y 轴B 、x 轴C 、x y =D 、)(x y ϕ=14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是_B___。

A 、 2次 B 、3次 C 、4次 D 、5次 二、计 算1. 将方程3210x x --=写成以下两种不同的等价形式：①211x x =+；②x =试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。

（8分）解： ①令121()1x x ϕ=+，则'132()x x ϕ=-，173.0|)40.1(||)(|'1'1<≈≤ϕϕx ； 又]55.1,40.1[]51.1,42.1[)]40.1(),55.1([)(⊂≈∈ϕϕϕx ，故由定理 2.1知，对任意]55.1,40.1[0∈x ，迭代格式收敛；②令11)(2-=x x ϕ，则3'2)1(21)(--=x x ϕ，123.1|)55.1(||)(|'2'2>≈>ϕϕx ，故由定理2.2知，对任意]55.1,40.1[0∈x ，且*0x x ≠，迭代格式发散。

2. 设方程f (x )=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。

（8分） 解：设方程的精确解为x *，任取近似根x ],[n n b a ∈(有根区间)⊂[0,1]， 则001.02121≤=-≤-+*n nn a b x x97.812ln 001.0ln ,001.0121≈--≥∴≥+n n 所以至少要二分9次，才能保证近似根的绝对误差限是0.001．3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分12041dx x +⎰的近似值，要求总共选取9个节点。

（10分）解：要选取9个节点应用复化梯形公式，则需将积分区间[0, 1]作8等分，即8n =, 100.1258h -==，0.125i x a ih h =+=（08i ≤≤） 设()241f x x =+，则积分12041dx x+⎰的复化梯形公式为： 11020170814()2()()120.125()2()()2n i n i i i h dx f x f x f x x f x f x f x -==⎡⎤≈++⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑⎰∑若选取9个节点应用复化辛卜生公式，则4n =，1100.254h -==，110.25i x a ih h =+=（04i ≤≤） 积分12041dx x +⎰的复化辛卜生公式为：1111012001233010124()4()2()()160.25()4()2()()6n n k n k k k k n k k k h dx f x f x f x f x x f x f x f x f x --+==+==⎡⎤≈+++⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑∑⎰∑∑将所用到的i x 与相应的()i f x ，以及()i f x 的梯形加权系数i T 、()i f x 的辛卜生加权系数i S 全部列于下表，得：那么由复化梯形公式求得710820140.125()2()()123.138989i i dx f x f x f x x =⎡⎤≈++⎢⎥+⎣⎦=∑⎰ 由复化辛卜生公式求得331012001240.25()4()2()()163.141593k n k k k dx f x f x f x f x x +==⎡⎤≈+++⎢⎥+⎣⎦=∑∑⎰4. 用列主元高斯消去法解下列方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20111.031045321321x x x （8分）解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211.03010451321⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--255.2112.101045⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---96.14.1255.201045 再用“回代过程”可计算解：2.15/)]4.1(1024[2)5.2/()]4.1(52[4.1)4.1/(96.1123=-⨯-⨯-==--⨯+=-=-=x x x5. 给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(,2053)2(,18252)1(,1432321321321x x x x x x x x x写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。