第三章 空间向量与立体几何
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB AD AA ++= A ．1AC B ．1CA C ．1BC
D ．1CB
2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若2CP CA CB =+，则下列结论正确的是 A ．22OP OA OB OC =+- B ．23OP OA OB OC =--+ C ．23OP OA OB OC =+-
D ．22OP OA OB OC =+-
3．若OA ，OB ，OC 是空间不共面的三个向量，则与向量OA OB +和OA OB -不共面的向量是 A ．BA B ．OA C ．OB
D ．OC
4．如图，已知AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD =
A ．21
33+b c B ．5
233-c b C ．
2133
-b c D ．123
3
+
b c 5．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1
()2
AB BD BC +
+=
A ．BC
B ．CG
C ．
1
2
BC D ．AG 6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是
与
的交点,若
,则
下列向量中与
相等的向量是
A ．11
22
-++a b c B ．
11
22++a b c C ．
11
22
-+a b c D ．11
22
-
-+a b c 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量，
，
是
A ．有相同起点的向量
B ．等长向量
C ．共面向量
D ．不共面向量
8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(),OP xOA yOB x C z zO y ∈=++R ,，则
1x y z ++=是P ，A ，B ，C 四点共面的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．给出下列命题： ①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同； ③若空间向量a ，b 满足=|a ||b |，则=a b ；
④若空间向量a ，b ，c 满足=a b ，=b c ，则=a c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题为________________（填序号）． 10．在四面体O-ABC 中，
=a ，
=b ，
=c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则
= .(用a ,b ,c
表示)
11．在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ,若BCD △是正三角形，且E 为其中心，则的化简结果为________．
12．在长方体1111ABCD A B C D ﹣中，下列各式运算结果为向量1BD 的是________________．（填序号）
①111()A D A A AB --；②111()BC BB DC +-；③1()AD AB DD --；④1111()B D A A DD -+． 13．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量12
43
OP OA OB OC λ=
++确定的点P 与A ，B ，C 共面，则λ=________________．
14．已知两非零向量12,e e ,且1e 与2e 不共线，若12λμ=+a e e (λ,μ∈R ,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正
确的是_______.
①a 与1e 共线；②a 与2e 共线；③a 与12,e e 共面. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知a =3m -2n -4p ,b =(x+1)m +8n +2y p ,且a ≠0,b ≠0,若a ∥b ,求实数x ,y 的值.
16．如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，E ，F 分别是边AC ，BD 的中点，设2AB =-a c ，
568CD =+-a b c ，试用a ，b ，c 表示向量EF ．
17．如图所示的多面体是以长方形ABCD 为底面的长方体的一部分,其中AB =4,BC =2,BE =2,CF =3,DG =1,求
证:A ,E ,F ,G 四点共面.
.
18．（1）已知向量1e ，2e 不共线，122=+a e e ，122=+b e e ，试判断a 与b 是否共线；
（2）如图所示，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且2CF FB =，2CG GD =．求证：四边形EFGH 是梯形．
19．如图所示，已知几何体1111ABCD A B C D ﹣
是平行六面体． （1）化简
112
23
AA BC AB ++，并在图上标出结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N =
1
4
C 1B ，设1MN AB A
D AA αβγ=++，求α，β，γ的值．。