★ c＝xa＋yb
(性质) 向量c与向量a，b共面
(判定)
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
rr
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
uuur r r ⑴∵ AP与a 、b 共面,
r b
C
r
Aa
B
ur p
uuur
P
rr
∴ 唯一有序实数对(x, y),
3、共面向量定理：
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b
共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使
c＝x a＋y b
c
证明： （1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，平面内， O A
由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，
使c＝x a＋y b
A
若 O u若u P u rP 为xAO uu ,A u rB中y 点O uu ,B u r(xy1)， O
则 A则、 B O、 P P三 1 点 OA共 线 OB。 向量参数表示式 2
——共面向量定理
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空
a
⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABCuu内ur, 不共uuu线r 的三uuu点r A、B 、C ∴uuur存u在uur 有序uu实ur 数uuur对 (muu,urn)u使uur APuuur m AB nuuAurC uuur uuur
∴OP OA m(OB OA) n(OC OA)∴OP (1 m n)OA mOB nOC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的 uuur uuur uuur uuur
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则
点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
证明:⑴充分性
uuur uuur uuur uuur
y),
使
AP
x AB
y AC
②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O
∴点 P 在平面 上
uuur uuur uuur uuur
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
(1)O uuM uur 1O uuAur1O uuBur1O uuCur; uuuur 3uuur u3uur uuu3r
(2)OM2OAOBOC.
uuur
uuur uuur uuur
∵uuOurP uuurxOA uuyuOr BuuurzOC 可uu变ur 形uu为ur OPuu(ur1 y uzu)uOrA yuOuuBr zOC ,
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
使 AP xa yb .
O
uuur r r
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
uuur r uuur r
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
uuur uuur uuur
∴点
P
在平面
上
是存在唯一有序实数对(x, uuur r uuur r
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在u u 直u r线u u 上u rl 的r
充要条件是存在实数t,满足等式 O PO A ta
其中u u u r 向量u u au r叫做u u 直u r线 的l 方向向量.
若 O u P uu r O A uu u rtA B
P
a
(或 APtAB)
B
则A、B、P三点共线。
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC
uuur
uuur uuur uuur
可u变uur形为uuurOP (u1uur y uuzur)OA uyuOurB uzuOurC ,
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA)
uuur
uuur
uuur
∴ AP y AB z AC
3.1.2空间向量的 数乘运算（二）
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的有向线
段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫
做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b 0), a // b的充要条件是存在实数 使
a b
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
uuur uuur uuur uuur ∵ OP xOA yOB zOC . uuur uuur uuur
又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面,
∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的 任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
（2）充分性：如果c 满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O， 作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c， 显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
★ 向量c与向量a，b共面
存在唯一的一对实数x，
y，使 c＝xa＋yb
思考2（课本P88思考）
试证明:对于不共线的三点 A、 uu B u r、 Cu和 uu r平面 u A uu rBCuuu r外的 一点 O,空间一点 P 满足关系式OPxOAyOBzOC,则 点P在 平 面ABC内 的 充 要 条 件 是xyz1.
即，P、A、B、C四点共面。
uuur uuur uuur uuur
间任意三个向量就不 一定共面的了。
复习：
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平 行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?
2、平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向
量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一
的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2