分式及其运算知识点归纳总结
一、知识点归纳
1、分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，B 中含有字母且B 不等于0，那么式子
B
A
叫做分式． 需要注意的四点：
（1）分式的分母中必须含有字母； （2）分式的分母的值不能为0；
（3）分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开； （4）判断分式需要看最初的形式 2、分式有无意义的条件：
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0， 分母为0时，分式无意义 3、分式的值：
（1）分式的值为0，满足
000≠=⇔=B A B
A
且 （2）分式的值为1，满足
01≠=⇔=B A B
A
（3）分式的值为-1，满足
01≠-=⇔-=B A B
A
（4）分式的值为正，满足
⎩⎨
⎧<<⎩⎨⎧>>⇔>00000B A B A B A
或 （5）分式的值为负，满足⎩⎨
⎧><⎩⎨⎧<>⇔<0
0000B A B A B A
或 4、分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
)0(,≠÷÷==m m
b m
a b a bm am b a ，前提条件是0≠m ,强调是同时 5、分式的符号：y y y x x x
--
==-（符号调整时注意不要改变分式的值）． 6、约分和最简分式：
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．对分式进行约分化
简时，通常要使结果成为最简分式（即分子和分母已没有公因式）或者整式． 通分：最简公分母 7、分式的乘除运算
乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 分式的加减运算
同分母的分式相加减，分母不变_，把分子相加减；
异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，然后再加减． 在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母分解因式 分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简． 有时进行分项化简
分式及其运算的题型总结
题型一：分式的定义及有无意义
1、下列各式是分式的有_________________．（填写序号）
①1π；②2x x
；③(3)(1)x x +÷-；④2
10xy -；⑤242x x --；⑥109x y +．
2、当x 取何值时，下列分式有意义 （1）
ax x ； （2）2
3
9
x x +-
（3
（4）2
x -． 3、当x =______分式212x
x x ---=0，当x =________时，216(3)(4)x x x --+=0
4、已知当2x =-时，分式
x b
x a
--无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________． 5、若分式
224x
x x m
++不论x 取何实数总有意义,则m 的取值范围
6、当x 时，
2
2(1)x
x -+的值为正数
题型二：分式的化简求值
7、下列变形正确的有________________．（填写序号） 1．
x y x y x x -+-=；2.x y x y
x x
-++=-；3.x y x y y x x y -++=--；4.y x x y x y x y --=-++． 5.135320.55x y x y x x
--= ;6.133m m m =++;7122x y y x +=--; 8.x x x y x y =--+- 8、若分式22x y
x y +-的中,x y 同时扩大2倍，分式的值
若分式222x y xy
+的中,x y 同时扩大2倍，分式的值
9、把下列分式化为最简分式：
（1）2223
3x x x x
---；
（2）22222222x y z yz
z x y xy
--+--+．
10、分式的运算：
（1）4
22
2a b a a b
a b ab a --⋅+-； （2）32
2
2322212()xy xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤
÷⋅ ⎪ ⎪⎢⎥+--⎣⎦
⎝⎭⎝⎭
．
（3）29
33a a a
+--； （4）22433x x
x x x
-
--+-．
下列说法错误的是（ ） A ．
2314a b 与2316a b c
的最简公分母是23
12a b c
B ．1m n +与1
m n -的最简公分母是22m n - C ．
213x x -与2
2
9
x -的最简公分母是(3)(3)x x x -+ D ．1x y -与1
y x -的最简公分母是()()x y y x --
11、分式的混合运算：
（1）2344111x x x x x -+⎛
⎫+-÷ ⎪
--⎝⎭ （2）22112111x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭
；
（3）412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭； （4）2222
211b a ab b a a ab a a b ⎛⎫-+⎛⎫
÷++ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭．
（5）24(2)22m m m m ⎛⎫
+÷+ ⎪--⎝⎭
； （6）352242m m m m -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭．
（7）
2222211111
3256712920
x x x x x x x x x x ++++
+++++++++
题型三：分式的应用
1、若
118x y +=，则2322x xy y
x xy y -+++=____
23
a b =，则
22
22
a a
b b a b
-++=________
若2112x x x =-+，则2421x x x =++_____．3x =4y =5z ，则222z y x xz
yz xy ++++=_______．
2、已知113x y -=，求2322x xy y
x xy y
+---的值
3、若0a b <<，且2260a b ab +-=，则a b
a b
+-的值为________．
4、若m 为正实数，且1m m -=3，则221m m -=______ 1
m m
+=
若15a a +=，则2421a a a =++ ；已知21
x
x x -+=7，则2421x x x ++=
5、若实数a ，b 满足：ab =1，则
22
11
11
a b +++的值为________． 6、若分式242
4
x x x -+-的值为整数，则整数x 的值为__________．
已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ac a c =+，则abc
ab bc ca
++=_____．
若abc =1，则111
a b c ab a bc b ca c ++++++++的值为_______．。