空间向量的概念解析例1、下列说法中正确的是（ ）A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=练习1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（ ）A.4B.3C.2D.12、下列四个命题：（1）方向相反的两个向量是相反向量（2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b（3）不相等的两个空间向量的模必不相等（4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜其中正确命题的序号为（ ）A.（1）（2）（3）B.（4）C.（3）（4）D.（1）（4）空间向量的线性运算例1、 已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量（1）AA CB '-（2）AB B C C D '''''++（3）111222AD AB A A '+- 练习1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ） ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++A.1个B.2个C.3个D.4 个2、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11111,,A B a A D b A A c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ） A.1122a b c -++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D.1122a b c --+用已知向量表示未知向量例1、已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x,y 的值：（1）OQ PQ xPC yPA =++（2）PA xPO yPQ PD =++练习：1、本例中若PQ xBA yBC zBP =++，则x,y,z 为何值？2、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 1,,AB a AD b AA c===M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN:NA 1=4：1，用a, b, c 表示以下向量：（1）AM （2）AN共线向量定理例1、 如图所示，已知四边形ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面，M,N 分别是AC,BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线练习： 1、已知空间向量a,b ，且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是（ ）A. A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D2、已知四边形ABCD 是空间四边形，E,H 分别是边AB,AD 的中点，F,G 分别是边CB,CD 上的点，且22,33CF CB CG CD ==求证：四边形EFGH 是梯形共面向量定理例1、 对于任意空间四边形ABCD ，E,F 分别是AB,CD 的中点，试证：EF 与,BC AD 共面 _练习： 1、 在下列条件下，使M 与A,B,C 一定共面的是（ ）A. 32OM OA OB OC =--B. 0OM OA OB OC +++=C. 0MA MB MC ++=D. 1142OM OB OA OC =-+ 2、已知A,B,C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足111333OM OA OB OC =++ （1）判断,,MA MB MC 三个向量是否共面（2）判断M 是否在平面ABC 内基底的判断例1、若｛a, b, c ｝是空间的一个基底，试判断｛a+b,b+c,c+a ｝能否作为该空间的一个基底练习：1、设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且｛a, b, c ｝是空间的一个基底，给出下列向量组：①｛a, b, x ｝, ②｛x, y, z ｝, ③｛b, c, z ｝, ④｛x, y, a+b+c ｝其中可以作为空间的基底的向量组有______个2、已知｛e 1, e 2, e 3｝是空间的一个基底，且1231232,32OA e e e OB e e e =+-=-++123,OC e e e =+-，试判断{},,OA OB OC 能否作为空间的一个基底?空间向量分解定理及应用例1、空间四边形OABC 中，G,H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设,,OA a OB b OC c ===，试用向量a,b,c 表示向量OG GH 和练习1、本例题中条件不变，若E 为OA 的中点，试用a,b,c 表示DE EG 和2、四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC,设,,OA a OC b OP c ===，E,F 分别是PC 和PB 的中点，试用a,b,c 表示：,,,BF BE AE EF数量积的运算例1、如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E,F 分别是OA,OC 的中点，求下列向量的数量积：（1）OA OB • （2）EF CB • （3）()()OA OB CA CB +•+练习1、如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是（ ）.2.2.2.2A BA ACB AD BDC FG CAD EF CB••••2、已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中心，求下列向量的数量积11(1);(2)BC ED BF AB ••用数量积求夹角例1、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA 1,求异面直角BA 1与AC 所成角的余弦值练习：1、已知a,b 是异面直线，A ∈a,B ∈a,C ∈b,D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b,且AB=2，CD=1，则a 与b 所成的角是（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°2、已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E 、F 分别为AB 、OC 的中点，求OE BF 与所成角的余弦值利用数量积求两点间距离例1、如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长练习：1、如图，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）A.2、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B,D间的距离利用数量积证明垂直问题例1、已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,AC⊥BD,求证：AD⊥BC练习：1、已知向量a,b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l 上，则==且是l⊥α的（）c a c b0,0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC,M,N分别是OA、BC的中点，G是M、N的中点，求证：OG⊥BC一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为 ______ ．【答案】π3或2π3 【解析】解：设平面α的法向量为m⃗⃗⃗ =（1，0，-1），平面β的法向量为n ⃗ =（0，-1，1）， 则cos ＜m⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=√2⋅√2=-12， ∴＜m⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=2π3． ∵平面α与平面β所成的角与＜m⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞相等或互补， ∴α与β所成的角为π3或2π3．故答案为：π3或2π3．利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.平面α经过三点A （-1，0，1），B （1，1，2），C （2，-1，0），则平面α的法向量u⃗ 可以是 ______ （写出一个即可） 【答案】（0，1，-1）【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，-1，-1），设平面α的法向量u⃗ =（x ，y ，z ）， 则{u ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +z =0u⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −y −z =0，令z =-1，y =1，x =0． ∴u⃗ =（0，1，-1）． 故答案为：（0，1，-1）．设平面α的法向量u⃗ =（x ，y ，z ），则{u ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +z =0u⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −y −z =0，解出即可． 本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），则平面ABC 的一个法向量为 ______ ．【答案】（-2，3，1）【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），设平面ABC 的法向量为n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +2z =02x +y +z =0，取x =-2，则z =1，y =3． ∴n⃗ =（-2，3，1）． 故答案为：（-2，3，1）．设平面ABC 的法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解出即可． 本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．4.在三角形ABC 中，A （1，-2，-1），B （0，-3，1），C （2，-2，1），若向量n⃗ 与平面ABC 垂直，且|n⃗ |=√21，则n ⃗ 的坐标为 ______ ． 【答案】（2，-4，-1）或（-2，4，1）【解析】解：设平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且m ⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2），∴{−x −y +2z =0x +2z =0， 即{x =−2z y =4z ，令z =1，则x =-2，y =4，即m⃗⃗⃗ =（-2，4，1）， 若向量n⃗ 与平面ABC 垂直， ∴向量n⃗ ∥m ⃗⃗⃗ ， 设n⃗ =λm ⃗⃗⃗ =（-2λ，4λ，λ）， ∵|n⃗ |=√21， ∴√21•|λ|=√21，即|λ|=1，解得λ=±1，∴n⃗ 的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1）， 故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．二、解答题(本大题共3小题，共36.0分) 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点．（1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）点M 在线段PC 上，PM =13PC ，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C 的大小．【答案】解：（1）证明：由题意知：PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，PQ ∩BQ=Q ，∴AD ⊥平面PQB ，又∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）∵PA=PD=AD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q （0，0，0），A （1，0，0），P （0，0，√3），B （0，√3，0），C （-2，√3，0）∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-23，√33，2√33）， 设n 1⃗⃗⃗⃗ 是平面MBQ 的一个法向量，则n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{√3y =0−23x+√33y+2√33z=0，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3，0，1)，又∵n 2⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1)平面BQC 的一个法向量， ∴cos ＜n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ ＞=12，∴二面角M-BQ-C 的大小是60°．【解析】（1）由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD ．（2）以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C 的大小．本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，点E 是PC 的中点，F 在直线PA 上．（1）若EF ⊥PA ，求PFPA 的值；（2）求二面角P-BD-E 的大小．【答案】解：（1）∵在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵PD=DC=2，点E 是PC 的中点，F 在直线PA 上，∴P （0，0，2），A （2，0，0），C（0，2，0），E （0，1，1），设F （a ，0，c ），PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（a ，0，c -2）=λ（2，0，-2）=（2λ，0，-2λ），∴a =2λ，c =2-2λ，F （2λ，0，2-2λ），EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2λ，-1，1-2λ），PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-2），∵EF ⊥PA ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4λ-2+4λ=0，解得λ=14， ∴PF PA =14．（2）P （0，0，2），B （2，2，0），D （0，0，0），E （0，1，1）， DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，2），DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0），DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，1）， 设平面BDP 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0，取x =1，得n ⃗ =（1，-1，0），则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0m⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =（1，-1，1）， 设二面角P-BD-E 的大小为θ，则cos θ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√2⋅√3=√63． ∴二面角P-BD-E 的大小为arccos √63．【解析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PF PA 的值．（2）求出平面BDP 的法向量和设平面BDE 的法向量，由此能求出二面角P-BD-E 的大小．本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7.如图所示的几何体是由棱台ABC-A 1B 1C 1和棱锥D-AA 1C 1C 拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB 1⊥平面ABCD ，BB 1=2A 1B 1=2．（Ⅰ）求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1D ；（Ⅱ）求二面角A 1-BD-C 1的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ，∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又BD ∩BB 1=B ，∴AC ⊥平面BB 1D ，∵AC ⊂平面AB 1C ，∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D ；（Ⅱ）设BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B(0，−1，0)，D(0，1，0)，B 1(0，−1，2)，A(√3，0，0)，A 1(√32，−12，2)，C 1(−√32，−12，2)， ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，12，2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√32，12，2)．由{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y +2z =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取z =√3，得n ⃗ =(−4，0，√3)， 设平面DCF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0m⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y +2=0，取z =√3，得m ⃗⃗⃗ =(4，0，√3)． 设二面角A 1-BD-C 1为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m||n|=1319．【解析】（Ⅰ）由BB 1⊥平面ABCD ，得BB 1⊥AC ，再由ABCD 是菱形，得BD ⊥AC ，由线面垂直的判定可得AC ⊥平面BB 1D ，进一步得到平面AB 1C ⊥平面BB 1D ；（Ⅱ）设BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面A 1BD 与平面DCF 的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A 1-BD-C 1的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．。