2020北京人大附中高三三模
数
学
2020年06月27日
命题人：侯立伟唐庚王鼎
审题人：于金华
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合2{}3,P log a ={},Q a b =，，若 {}0P Q P Q ⋂=⋃=，则（
）A.{0,3}
B.{0,2,3}
C.{0,1,3}
D.}
0,1,2,3{2.若复数
z =
，则z =（
）
A.
12
B.
32
C.1
D.2
3.已知21533122
(,(),log 355
a b c -===，则（
）
A． a b c <<B． c b a <<C． b c a <<D． c a b
<<4.已知函数()f x 的图象沿x 轴向左平移2个单位后与函数 2x y =的图象关于x 轴对称，若01() f x =-，则0x =（）
A．2
-B．2
C．23
log -D．23
log 5.为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩
（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及
格（及格成绩为9.4秒）的人数为（）A.150
B.250
C.200
D.50
6.“6πϕ=-
”是“函数()sin(2)()3
f x x x R π
=+∈与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（
）
A．6B．12C．24D．36
8.等比数列{}n a 中11a ＝
，且12342a a a ，，成等差数列，则*()n
a n N n
∈的最小值为（）
A.16
25
B.49
C.
12
D.1
9.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， u 是一条侧棱，
()1,2,,8i i P = 是上底面上其余的八个点，则集合
{} ,1,2,3,8i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅
中的元素个数()
A.1
B.2
C.4
D.8
10.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在
某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移
2sin P v f ϕ
λ
=
，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波
长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为9)1600(110nm nm m -=，测得某时刻频移为
()98.0101/h ⨯，则该时刻高铁的速度v 约等于
A.320/km h
B.330/km h
C.340/km h
D.350/km h
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线2y x =的焦点到准线的距离是
12.二项式2
5
1
()x x
+的展开式中含4x 的项的系数是
（用数字作答）．
13.已知关于x 的不等式2 230ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______
14.在平面直角坐标系中，以双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为圆心，以实半轴a 为半径的圆与其渐近线
相交，则双曲线的离心率的取值范围是
15.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，9，甲、乙、丙
三人从口袋中依次各抽出3个小球．甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；
丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球．
已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：
①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；
④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到．其中，所有正确结论的序号是________________．注：全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．（本小题满分14分）
在ABC 中，3a b ==，求c 的值．
从 22B A sinB sin A ∠=∠=①，②，315
2
ABC S =
③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且
，，，．
∠=︒===
//9013
AD BC BAD AB AD BC
⊥；
（Ⅰ）求证：AF CD
（II）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值.
18.（本小题满分14分）
国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：
空气质量等优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
AQI值范围[0,50)[50，100)[100,150)[150,200)[200,300)300及以上下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值：西部城市AQI数值东部城市AQI数值
西安108北京104
合肥90金门42
克拉玛依37上海82
鄂尔多斯56苏州114
巴彦卓尔61天津105
库尔勒456石家庄93
合计：888合计：540
(Ⅰ)从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？
(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望．
（III）设东部城市的AQI 数值的方差为2
1S ，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI 数值的方差为2
2S ，判断2
1S 和2
2S 的大小.(只需写出结论)
附：方差计算公式2
2
1
1(.
n i i S x x n ==-∑19．（本小题满分15分）
已知函数2()x
x m
f x e
-=
（其中m 为常数）．（I）若0m =且直线 y kx =与曲线() y f x =相切，求实数k 的值；
（II）若() y f x =在[]1,2上的最大值为
22
e
,求m 的值.20．（本小题满分14分）
椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是5
3
，过点01P （，）
做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A B ，两点，当直线l 垂直于y
轴时AB =（I）求椭圆E 的方程；
（II）当k 变化时，在x 轴上是否存在点0M m （，），使得AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．
21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）
()123,,,,n A n A A A A ⋅⋅⋅：与()123,,,,n B n B B B B ⋅⋅⋅：，其中3n ≥，若同时满足：
①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =⋅⋅⋅-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.
（Ⅰ）试判断()()()()12330,2,3,0,5,2A A A A ：与()()()()12330,2,2,5,5,2B B B B ：是否互为正交点列，并说明理由；
（Ⅱ）求证：()()()()()123440,0,3,1,6,0,9,1A A A A A ：不存在正交点列()4B ；（Ⅲ）是否存在无正交点列()5B 的有序整数点列()5A ？并证明你的结论.
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