空间角的求法精品(优秀教案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2PCDBA 空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：090θ<≤oo（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=o，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。

【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。

2CE BD ==Q ，且2210PE PA AE =+=∴由余弦定理得 2223cos 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。

求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。

【答案】125A 1C 1C BAB 1 DABCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤oo方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=o，60PAB ∠=o，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。

【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。

AB BC CA ==Q ，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=o o Q ，所以PAD ∆为等边三角形。

不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 1313OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。

2AB BC ==，1CD SD ==，求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

【解】由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE作SF DE ⊥，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，32SD SE SF DE ⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则1FG DC ==连结SG ，则SG BC ⊥，又BC FG ⊥，SG FG G =I故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC217SF FG FH SG ⨯==，即F 到平面SBC 的距离为217由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d 也为217设AB 与平面SBC 所成的角为α，则21sin 7d EB α==，则21arcsin 7α=ABCNMPQMNαβHQPB A【变式练习2】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AD PD ⊥，1BC =，23PC =，2PD CD ==，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

【解】过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE,AD PD AD DC ⊥⊥Q ，则平面PDC ⊥平面ABCDPE ∴⊥面ABCD ，则PBE ∠是直线PB 与平面ABCD 所成角2,231203,1CD PD PC PDC PE DE ︒===⇒∠=⇒==在Rt BCE ∆中，22221013BE BC CE PB BE PE =+=⇒=+=在Rt BPE ∆中，39sin 13PE PBE PB ∠==三、二面角的求法二面角的范围：0180θ<≤oo求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角。

从找平面角的角度出发，有以下几种方法： （一）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。

（一般在找出角后，利用三角形求解） 【例3】在三棱锥P ABC -中，60APB BPC APC ∠=∠=∠=o，求二面角A PB C --的余弦值。

【解】在PB 上取1PQ =，作MQ PB ⊥交PA 于M ，作QN PB ⊥交PC 于N1cos 3MQN ∠=【变式练习】如图，点A 在锐二面角MN αβ--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成角45PAM ∠=o，与面β所成角的大小为30o，求二面角MN αβ--的大小。

【解】在射线AP 上取一点B ，作BH β⊥于点H ，作HQ MN ⊥于Q2sin 2BQH ∠=，则MN αβ--为45oAB CNQABCP（二）利用三垂线三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

从半平面α内的任一点A 出发向另一个半平面β引一条直线AH ，过H 作棱l 的垂线HG ，垂足为G ，连AG ，则由三垂线定理可证l AG ⊥,故AGH ∠就是二面角l αβ--的平面角。

三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。

【例4】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=o，60PAB ∠=o，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求二面角B AP C --的大小。

【解】过AB 中点D 作DE AP ⊥于E ，连接CE ， 由已知可得，CD ⊥平面PAB据三垂线定理可知，CE PA ⊥ 则CED ∠为B AP C --的平面角 易知，若1AB =，则3DE =，23CD =在Rt CDE ∆中，23tan 23CD CED DE ∠===【变式练习】在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=o ，11AB BB ==，直线1B C 与平面ABC 成30o角，求二面角1B B C A --的正弦值。

【解】由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面11BCC B ，过A 作AN ⊥平面11BCC B ，垂足为N ，则AN ⊥平面11BCC B （AN 即为我们要找的垂线）在平面1BCB 内过N 作NQ ⊥棱1B C ，垂足为Q ，连QA 则NQA ∠即为二面角的平面角。

1AB Q 在平面ABC 内的射影为AB ，CA AB ⊥ 1CA B A ∴⊥，又11AB BB ==，得12AB =A 1D 1 B 1C 1 EDBC AQ 直线1B C 与平面ABC 成30o 角130B CB ∴∠=o ，又12B C =，则1Rt B AC ∆中，由勾股定理得2AC =1AQ ∴=，在Rt BAC ∆中，1,2AB AC ==，得63AN =6sin 3AN AQN AQ ∴∠==即二面角1B B C A --的正弦值为36从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。

（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos S Sθ=射）求出二面角的大小θ。

求证：cos S Sθ=射【例5】 如图，E 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，求平面1AB E 和底面1111A B C D 所成锐角的余弦值。

【答案】所求二面角的余弦值为32【变式练习】如图，S 是正方形ABCD 所在平面外一点，且SD ⊥面ABCD ，1AB =，3SB =。

求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小。

【答案】45oCβαD AEDCBASABCDOA1B1C1D1四、真题演练1．（山东）已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）.A π125 .B 3π .C 4π .D 6π 2．（大纲）已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）.A 32 .B 33 .C 32 .D 313．（山东）如图所示，在三棱锥ABQ P -中，⊥PB 平面ABQ ，BQ BP BA ==,F E C D ,,,分别是,AQ BQ ，,AP BP 的中点，BD AQ 2=，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。

（1）证明：AB ∥GH ；（2）求二面角E GH D --的余弦值。

4．（陕西）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，⊥O A 1平面ABCD ,21==AA AB 。

（1）证明：⊥C A 1平面D D BB 11；（2）求平面1OCB 与平面D D BB 11的夹角θ的大小。

ABC DSED 1DCBA 1B 1C 1A P5．（湖南理）如图在直棱柱1111D C B A ABCD -中，AD ∥BC ，090=∠BAD ，BD AC ⊥，1=BC ,31==AA AD（1）证明：D B AC 1⊥；（2）求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值。

6．（四川理）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=o ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ； （2）设（1）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．7．如图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC P 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，CS DS ⊥，22CS AD ==；E 为BS 的中点，2,3CE AS ==．求：（1）点A 到平面BCS 的距离；（2）二面角E CD A --的大小。