习 题 4—11．求解下列微分方程1） 22242x px p y ++= )(dx dy p =解 利用微分法得 0)1)(2(=++dx dp p x 当 10dp dx+=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解22242y p px x p x c ⎧=++⎨=-+⎩或消参数P ，得通解 )2(2122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -=2）2()y pxlnx xp =+； ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭当0=+p dxdp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解：2()y pxln xp px c ⎧=+⎨=⎩或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4y lnx =- 3）()21p p x y ++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=cx dy p 解 利用微分法，得x dx p p p -=+++2211 两边积分得 ()c x P P P =+++2211由此得原方程以P 为参数形式的通解：21(p p x y ++= ，().11222c x p p p =+++或消去P 得通解222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程1）45222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y 解 将方程化为 221542=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y令y t =dy t dx = 由此可推出11)22cos dx dy d t t t ===从而得 c t x +=25因此方程的通解为x c =+，y t = 消去参数t ，得通解)y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ，0=dxdy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。

2）223()1dy x dx-= 解：令u x csc =，u dx dy cot 31-= 又令tan 2u t = 则t t u x 21sin 12+==du u u u dy 322sin cos 31cot 31== dt t t t t t 22222123121131+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= dt tt t )12(3413+-=积分得，2211(2ln )22y t t c t =--+2214ln )t t C t =--+ 由此得微分方程的通解为t t x 212+=，2214ln )y t t c t =--+ 3）dxdy dx dy x 4)(33=+ 解：令xt dx dy = 则t x t x x 23334=+ 解得 314t t x += 又 333223332)1()21(16)1()21(414t t t t t t t dt dx dx dy dt dy +-=+-•+=•=du u u t u dt t t 333333)1(21316)1()621(316+-=+-= 2331(332)1(16u du u du +-+= 228321(1)31y C u u∴=-++++3238321(1)31C t t∴=-++++ 由此得微分方程的通解为314t t x +=， 3238321(1)31y C t t =-++++。

习题4—21．得用P —判别式求下列方程的奇解：2）2)(dxdy x y dx dy+= 解：方程的P —判别式为2,20y xp p x p =++=消去p ，得42xy -= 经验证可知42xy -=是方程的解。

令2),,(p xp y p y x F --=则有2'(,,)142yx x F x --=，2"(,,)242pp x x F x --=- 和2'(,,)042px x F x --= 因此，由定理4.2可知，241x y -= 是方程的奇解。

2）2)(2dxdy dx dy x y += 解：方程的P —判别式为22p xp y +=，0=+p x消去P ，得 2x y -=，而2x y -=不是方程的解，故2x y -=不是方程的奇解。

3）y qdx dy y 4)()1(22=- 解：方程的P —判别式为94)1(22=-p y ，0)1(22=-p y 消去P ，得0=y ，显然0=y 是方程的解，令y p y p y x F 94)1(),,(22--=则有 '4(,0,0)9y F x =- "(,0,0)2pp F x = 和'(,0,0)0p F x =因此，由定理4.2知，0=y 是方程的奇解。

2．举例说明，在定理4.2的条件''(,(),())0y F x x x x x ≠"'(,(),())0pp F x x x x x ≠中的两个不等式是缺一不可的， 解：考虑方程0)(22=-y dxdy 方程（1）的P —判别式为022=-y p 02=p 消去P ，得0)(==x x y令22),,(y p p y x F -=，于是有'(,,)2p F x y p y =- '(,,)2p F x y p p =- "(,,)2pp F x y p =因此虽然有 "(,,)20pp F x y p =≠和'(,0,0)0p F x =但是'(,0,0)0y F x =又0=y 虽然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解为x y xe ±=因此容易验证0=y 却不是奇解。

因此由此例可看出。

定理 4.2中的条件''((),())0y F x x x x ≠是不可缺少的。

又考虑方程 y dxdy y =)sin( 方程（2）的P —判别式为 y yp =)sin( ()0ycos yp =消去P ，得0=y 。

令y yp p y x F -=)sin(),,(于是有'(,,)()1y F x y p pcos yp =-，'(,,)()p F x y p ycos yp = "2(,,)sin()pp F x y p y yp = 因此，虽然有'(,0,0)10y F x =-≠和'(,0,0)0p F x =但"(,0,0)0pp F x =，而经检验知0=y 是方程（2）的解，但不是奇解。

因此由此例可看出定理4.2中的条件"'(,(),())0pp F x x x x x ≠是不可缺少的。

3．研究下面的例子，说明定理4.2的条件''(,(),())0p F x x x x x =是不可缺少的''312()3y x y y =+- 解：方程的P —判别式为3312p p x y -+= 012=-p 消去P ，得 322±=x y 检验知 322+=x y 不是解，故不是奇解，而322-=x y 虽然是解，但不是奇解。

令3312),,(p p x y p y x F +--= '(,,)1y F x y p =， '2(,,)1p F x y p p =-+"(,,)2pp F x y p p =， 所以虽有'2(,2,2)103y F x x ±=≠ "2(,2,2)403pp F x x ±=≠ 但是'2(,2,2)303p F x x ±=≠ 因此此例说明定理4.2的条件''(,(),()0p F x x x x x =是不可缺少的。

习题4——31．试求克莱罗方程的通解及其包络解：克莱罗方程 )(p f xp y += )(dx dy p =（1） 其中"()0f p ≠。

对方程（1）求导值0))('(=+dx dp p f x 由0=dxdp 即c p =时 代入（1）得（1）的通解 )(c f cx y += （2）它的C —判别式为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=++=0)(')(c f x c f cx y 由此得 :'())()x f c c ϕΛ=-=， '()()()y cf c f c c ψ=-+=令 (,,)()V x y c cx f c y =+- 故'((),(),)x V c c c c ϕψ= '((),(),)1y v c c c ϕψ=-所以''(,)(0,0)x y V V ≠ 又('(),'())("(),"())(0,0)c c f c cf c ϕψ=--≠ （由于0)("≠c f ）因此Λ满足定理4.5相应的非蜕化性条件。

故Λ是积分曲线族（2）的一支包络。

课外补充1．求下列给定曲线族的包络。

1）4)()(22=-+-c y c x解：由相应的C —判别式22(,,)()()40V x y c x c y c =-+--=(,,)2()2()0c V x y c x c y c =----=消去C 得C —判别曲线 8)(2=-y x它的两支曲线的参数表示式为1Λ： c x +-=2 ，c y +=22Λ：c x +=2 ，c y +-=2对1Λ，我们有('(),'())(1,1)(0,0)c c ϕψ=≠'((),(),)2()x V c c c c c ϕψ=-=-'((),(),))y V c c c c c ϕψ=-=∴''(((),(),),((),(),))(0,0)x y V c c c v V c c c ϕψϕψ≠因此1Λ满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，2Λ也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故1Λ，2Λ是曲线族的两支包络线。

2．c y c x 4)(22=+-解：由相应的C —判别式22(,,)()40V x y c x c y c =-+-=(,,)2()40c V x y c x c =---=消去C 得C —判别曲线 )1(42+=x y 它的两支曲线的参数表示式为1:2x c Λ=-+ ，12-=c y2:2x c Λ=-+ ，12--=c y对1Λ，我们有('(),'())(0,0)c c ϕψ=≠''(((),(),),((),(),))((0.0)x y V c c c v V c c c ϕψϕψ=-≠因此1Λ满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，2Λ也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故1Λ，2Λ是曲线族的两支包络线。