Chapter 4 Integration
4.1 Indefinite Integrals, Differential Equations, and Modeling
4.2 Integral Rules, Integration by Substitution 4.3 Estimating with Finite Sums 4.4 Riemann Sums and Definite Integrals 4.5 The Mean Value and Fundamental Theorems 4.6 Substitution in Definite Integrals 4.7 Numerical Integration
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Step 1. Subdivide the interval [a,b] into subintervals. Step 2. Select some number in each subinterval, and then obtain many rectangles.
I
2 3
x3
1
3
2
C
1
1
2 3
13
1
3
2
C
2 3
13
132Fra bibliotekC目录 上页 下页 返回 结束
Example. Evaluate the integrals
1)
2
2x sin
4 x2
dx
0
Solution.
I
2
sin
4 x2
4 x2
dx
0
2
0
sin
4
2 3x2x4 dx 2
x
3
x5 5
2
2
16
5
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Example. Evaluate the area of the shade region.
A 3 2 x24 x22x d x
12 x22xx24 dx
1
x22xx24dx
0
2
2x3 2 4
3
2 0
2 43 2
2
3
10 3
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Solution 2.
2
A 0
xdx
4 2
x x 2 dx
2x3 2 2 2x3 2 x2
4
3
0
3
2
2x 2
10 3
Does it has other Solutions?
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Example. Evaluate the area of the shade region.
A 11x22x4 dx
x3 3
2 5
x5
1
1
22 15
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Example. Evaluate the area of the shade region.
A 22x2x42x2dx
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Solution 1.
1
I
x3 1 x3 1 dx 1
x3 1d x3 1
1
1
2
udu 0
Solution 2.
2 3
u3
2
2
0
2 3
23 2 03 2
4 2 3
u x3 1
3x2 x3 1dx x3 1 x3 1 dx 2 x3 1 3 2 C 3
x2
d
4
x
2
0
4
sin
u
du
u 4 x2
cos
u
0 4
cos0 cos 4
1 cos 4
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Example. Evaluate the integrals
2) 2 3sin x cos x dx 0 1 3sin2 x
Solution.
2
I
3sin x
sin x dx 2
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4.6
Substitution in Definite Integrals
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4.6.1 Substitution in Definite Integral 4.6.2 Area between Curves
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xk
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Notice that both f and g are continuous. Therefore, we have
n
n
n
lim
P 0
k 1
f
ck
g
ck
xk
lim
P 0
k 1
f
ck
xk
lim
P 0
k 1
g
ck
xk
b
a
f
x dx
b
a
g
x dx
b
a
f
x
g
x
dx
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Solution.
A 2 2 x2 x dx 1
2 2 x2 x dx 1
2x
x3 3
x2 2
2
1
9 2
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Solution 1.
4
A
x 0 dx 1 2 2
3sin x
d sin x
0 1 3sin2 x
0 1 3sin2 x
3 2
1
d sin2 x 1 2
1
d 1+3sin2 x
2 0 1 3sin2 x
2 0 1 3sin2 x
4 1
1 2u
du
u 14 1
u 1+3sin2 x
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4.6.2
Area between Curves (曲线之间的平面图形面积)
3
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Example. Evaluate the area of the shade region.
3
A
4x2 x2dx
2
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Example. Evaluate the area of the shade region.
A 1 xx2 4 dx 0 2 1x2 4 dx 1
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Step 3. Take the sum of above products.
f ck g ck xk
n
f ck g ck xk
k 1
Step 4. Take the limitation of Riemann sum.
n
lim
P 0
k 1
f
ck
g
ck
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Exercises
P371 1(a), 4(a), 5(a), 6(a), 8(a), 12, 15. P372 19, 24.
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