Sy
y x1
2 S12
y x 2
2
S
2 2
y x r
2
S
2 r
r
y xi
2
S
2 i
r
y xi
S
i
于是各自变量的误差
S1
Sy
r
y x1
， S2
Sy
r
y x2
，
……
Sr
Sy
r
y xr
p.20
理论力学
理论力学
【例题2-2】一悬臂梁如图2-5所示，要 求测量应力误差不大于2％，求各被测量 F、l、b、h允许多大误差。
x
1 n
x1
x2
xn
1 n
n i1
xi
（2-3）
剩余误差
剩余误差是测量数据与其算术平均值之差，记作 i
即
i xi x
算术平均差
算术平均差是剩余误差绝对值的算术平均值，即
1 n i n i1
（2-4）
p.10
理论力学
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2．标准差
随机变量的重要特征是分散性，标 准差与随机误差的平方有关，对数值较 大的误差反应灵敏，因而标准差是评估 随机误差分散性的重要指标。
1.准确度 准确度是指测量值与真值接近的程度
2.精密度 精密度是指多次测量所得数据的重复程度
图2-1 不同打靶结果说明准确度和精密度
p.5
理论力学
第三节 系统误差的消除
理论力学
一、校准法
定期校准仪器仪表是消除系统误差的重要方法。校准法是用更准确的 仪器校准实验仪器以减小系统误差，或用通过分析给出的各种修正公式修 正实验数据以消除系统误差。
2．有界性：在有限次测量中，误差的绝对值不超过一 定的界限。
3．抵偿性：当测量次数不断增多时，随机误差的代数 和逐渐减少，增加测量次数可提高测量精确度。
4．对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率大致相 同。
p.8
理论力学
理论力学
将同一测试对象的多次测量数据记作 x i i 1,2,3,, n
被测对象的真值记作T，则随机误差 服从正态分布规律
简称粗差，它明显歪曲测量结果，多由测量人员的过 失所引起，故有人称这种误差为过失误差。这种误差只能 靠实验人员认真细致的正确操作和加强校对才能避免。
p.4
理论力学
理论力学
第二节 精确度、精密度和准确度
反映测量结果与真值接近程度的量，统称精度或精确度。 它与误差大小相对应，误差小则精度高 。
精度包括
p.13
理论力学
三、格拉布斯方法
理论力学
设测量数据是正态分布，算术平均值为 x，标准差
为S，各测量数据按大小排列为，怀疑最小或最大的数据 是异常的，用格拉布斯方法判定异常数据的步骤如下：
1.选定危险率a。a是一个较小的百分数，例如5％， 2.5％，1％等。a是按照格拉布斯方法判定为异常数据但
实际不是异常数据的概率，即犯错的概率，这种错误是 统计方法无法避免的
x1 应舍去
用格拉布斯方法，选择危险率a=5.0％，n=10，查表2-4，
tn, a 2.18
x xi
t
=2.19>2.18
S
x1 应舍去
可知，肖维纳方法比格拉布斯方法更容易舍去可疑数据。
p.17
理论力学
第六节 间接测量的误差
理论力学
一、已知自变量的误差求函数的误差
设函数 y f x1, x2 xr 由r个直接测量的物理量确定
2.5% 1.15 1.48 1.71 1.89 2.02 2.13 2.21 2.29 2.36 2.41
1.0% 1.15 1.49 1.75 1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 2.48 2.55
n
a
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
5.0% 2.33 2.37 2.41 2.44 2.47 2.50 2.53 2.56 2.58 2.60
2
y x1
y x2
x1ix2i
p.由于正负误差出现的概率相等，当n足够大时，将所有
的 yi2相加，则非平方项对消得
n
yi2
i 1
y x1
2
n
x12i
i 1
y x2
2
n
x
2 2i
i 1
y xr
2
n
xr2i
i 1
两边除以n再开方得标准误差
Sy
y x1
2 S12
二、对称法
利用对称性进行实验可消除系统误差 。
三、交换法
将某些测量条件交换以消除系统误差 。
四、补偿法 利用补偿法可消除周围环境改变或支承条件差异引起的系统误差。
五、修正法
采用修正法消除系统误差，是预先将仪器误差或温度的影响等事先检 测和计算出来，列出公式、曲线或图表，然后取与误差数值相同，符号相 反的值以修正测量结果。
2.计算t值
x xi t
S
（2-7）
3．查表2-4得相应的n，a对应的t（n, a )值
4．如果 t tn, a ，则可疑数据应舍去，这样判断犯 错的概率为a，如果 t tn, a，则可疑数据不能舍去。
p.14
理论力学
表2-4 格拉布斯方法值
n
a
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.0% 1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.29
用肖维纳方法和格拉布斯方法舍去可疑数据。
解：1．计算这组数据的算术平均值
x
1 n
n i1
xi
=7.95
2．计算标准差
S
1n
2
n 1 i1 xi x =0.137
3．设x1为可疑数据
d1 x1 x 0.30
p.16
理论力学
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用肖维纳方法查表2-3，n=10，c=1.96
d1 0.30 2.19 1.96 S 0.137
次数ni 1
频率fi（0.01） 0.83
2
1.67
3
2.5
7
5.83
14
11.67
20
16.67
23
19.17
22
18.33
14
11.67
8
6.67
3
2.5
2
1.67
1
0.83
图2-2 频率直方图
理论力学 p.7
理论力学
二、高斯误差分布定律
理论力学
从误差分布曲线可以看出随机误差的特性： 1．单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大 的误差出现的概率小。
n5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
c 1.65 1.73 1.79 1.86 1.92 1.96 2.00 2.04 2.07 2.10 2.13
n 16
17
18
19
20
30
40
50
60
80 100
c 2.16 2.18 2.20 2.22 2.24 2.39 2.50 2.58 2.64 2.74 2.81
自变量 x1, x2 xr 的标准差分别为 S1, S2 Sr
对 x1, x2 x各r 作了n次测量，可算出n个y值
yi f x1i , x2i xri
i 1,2, n
每次测量的误差
yi
y x1
x1i
y x2
x2i
y xr
xri
将上式两边平方
yi2
y x1
2 x12i
y x2
2
x
2 2i
2.5% 2.46 2.51 2.55 2.59 2.62 2.65 2.68 2.71 2.73 2.76
1.0% 2.61 2.66 2.71 2.75 2.79 2.82 2.85 2.88 2.91 2.94
n
a
23
24
25
30
35
40
50
60
80 100
5.0% 2.62 2.64 2.66 2.75 2.82 2.87 2.96 3.03 3.14 3.21
理论力学
1.真值是客观存在的某个物理量的真实值；
2.实验值是用实验方法测量得到的某个物理量的数值；
3 .理论值是用理论公式计算得到的某个物理量的数值；
4 .误差包括实验误差和理论误差。实验误差是实验值与 真值的差值；理论误差是理论值与真值的差值。这里只讨 论实验误差，并简称误差。
p.3
理论力学
三、误差的分类
p.1
理论力学
第一节 误差的基本概念
理论力学
一、误差的概念
测试误差是指被测对象的测试结果与其真值之间的 差别或偏离。这种差别的程度可用两种方法表示：绝对
误差和相对误差。若将测试结果记作 x ，真值记作T，则
绝对误差
xT
相对误差
100% x T 100%
T
T
p.2
理论力学
二、真值、实验值、理论值和误差
解： x
M W
6Fl bh 2
f F ,l, b, h
y
r=4
y 6l x
F bh2 F
y 6F x
l bh2 l
y 6Fl x
b b2h2
b
y 12Fl 2 x