A
B
C D E
F B C A D 八年级上册数学期中考试培优题
1、△ABC 中，AB =AC ，AC 上的中线BD 把△ABC 的周长分为24㎝和30㎝两部分，求三角形的三边长.
2、如图，AF ，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，BE 是△ABC 的角平分线，AD 、BE 交于点O ，且∠ABC =36°，∠C =76°，求∠DAF 和∠DOE 的度数.
3.在边长为3的等边△ABC 的AB 边上任取一点D ，作DF ⊥AC 交AC 于F ，在BC 的延长线上截取CE=AD ，连接DE 交AC 于G ，求FG 的值。

4.（1）如图所示，已知△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平
分线相交于点O ，试说明
∠BOC =90°+2
1∠A 。

（2）如图所示，在△ABC 中，BD 、CD 分别是∠ABC 、∠ACB 的外角平分线，试说明∠D =90°-21∠A 。

（3）如图所示，已知BD 为△ABC 的角平分线，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，且与BD 交于点D ，试说明∠A =2∠D 。

5．已知，AC ⊥CE ，AC=CE ， ∠ABC=∠EDC=900，证明：BD=AB+ED.
6. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF .
7.（1）把一大一小两个等腰直角三角板（即EC=CD,AC=BC ）如图1放置，点D
在BC 上，连
结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ， 求
证：（1）ΔACD ≌ΔBCE （2）AF⊥BE．
（2）把左
边的小三角板逆
F D E B A G
E D A B H F
C
时针旋转一定的角度如图2放置，问AF 与BE 是否垂直？并说明理由．
8. 如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，
①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；
判断△CFH•的形状并说明理由；④FH||BD.
9.已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于
R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。

10.已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。

11.已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。

12、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC =90°，O 为BC (1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 求证明)； (2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

13、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE=BD ，
连结EC 、ED ，求证：CE=DE 14、如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 且
BC ＝10，求△DCE 的周长。

15. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。

求证：()AM AB AC >-12
16. 如图3，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。

求证：AM 平分DAB 。

17. 已知如图4，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角（∠BDC ）为 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN 。

求证：∆AMN 的周长等于2。

18. 如图5，已知：点C 是∠FAE 的平分线AC 上一点，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，E 、F 为垂足。

点B 在AE 的延长线上，点D 在AF 上。

若AB ＝21，AD ＝9，BC ＝DC ＝10。

求AC 的长。

19. 已知：如图6，∆ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。

A B
C O M N
求证：BD 平分∠ABC
20. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。

如图7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件PB ＝AB 的一棵树P ，现要在花坛内装一喷水管D ，点D 的位置必须满足条件AD ＝BD ，∠DBP ＝DBC ，才能使花坛内全部位置及树P 均能得到水管D 的喷水，问∠BPD 为多少度时，才能达到上述要求？
21. 如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，M 是AC 中点，AE ⊥BM 。

求证：∠AMB ＝∠CMD
22. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

23. 如图，已知：AB C ∆中，AC AB =，
D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

24. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2B AC ∠=∠。

25. 如图，AB C ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

26、（1）已知△ABC 中， AE 为角平分线，D 为AE 上一
点，且∠BDE =∠CDE ，求证：AB =AC.
（2）若把（1）中“AE 角平分线”换为“AE 为高线”，
其它条件不变，结论还会成立吗？如果成立，请说明；
若不成，也请说明理由．
27、（1）已知如图①，△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，
且∠CAB=∠DAE,连结CE 、BD ，求证：CE=BD 。

（2）将△ADE 绕着A 点旋转，当点C 、E 、D 在一条直线时如
图②，上述结论是否成立？
（3）旋转到图③时，上述结论成立吗？
（4）旋转到图④时，此时点B 、E 、D 在一条直线上，上述结
论成立吗？若成立，请就（2）（3）（4）中的一种情况加以说明． B A E ① C E D C
B A
28、如图，在R t △ABC 中，∠ACB =450，∠BAC =900，AB =AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE∥AC 交AF 的延长线于
E ，
求证：BC 垂直且平分DE.
29、已知：三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D
为BC 的中点，
（1）写出点D 到的三个顶点A 、B 、C 的距离关系（不
要证明）；
（2）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，判定△DEF 的形状，并加以证明；
（3）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，那么（2）的结论是否仍然成立？证明你的结论．
30、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
31. 直线CD 经过BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠．
（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面问题：如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF BE AF -（填“>”，“<”或“=”号）； （2）如图2，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．
③ D B E
C A A
B C E
D ② A C B
E
④
D （图1） （图2） （图3）
32、如图，在△ABC 中，,120,AB AC A AB =∠=︒边上的垂直平分线交BC 于D 点， 求证：3BC BD =.
33、如图，△ABC 中，,120,AB AC BAC D =∠=︒是BC 的中点，DE AB ⊥于E ， 求:AE EB 的值.
34. 如图:在△ABC 中,AB=AC,P 为BC 边上任意一点,PF⊥AB 于F,PE⊥AC 于E,若AC 边上的高BD=a .
(1)试说明PE ＋PF=a ;
(2)若点P 在BC 的延长线上,其它条件不变,上述结论还成立吗?如果成立请说明理由;如果不成立,请重新给出一个关于PE ，PF ，a 的关系式,并明理由.。