1(x) y0
x
x0 f ( ,y0 )d
x x0
f ( , y0 )d
M x x0 Mh b
M Max f (x, y) ( x, y)R
h min( a, b ) M
设命题2当n k时成立, 即k (x)在[x0, x0 h]上连续且
k (x) y0 b
当n k 1时
y0
即y (x)为(3.1)的连续解.
构造Picard逐步逼近函数列{n (x)}
00(x)
xx
nn(x) y00 xx00 f ( ,nn11( ))d
(n 1,2,)
(3.7)
x00 xx xx00 hh
注 一般来说连续函数0 (x)可任取,但实际上为 方便, 往往取0 (x) y0的常数值.
问题: 这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?
命题2 对于所有n和x [x0, x0 h],n (x)连续且满足
n (x) y0 b,
(3.8)
证明:(用数学归纳法)
x
n 1时 1(x) y0 x0 f ( ,y0 )d
显然1(x)在[x0, x0 h]上连续,且
dx
f (x, y)
(3.1)
y(x0 ) y0 其中f (x, y)在矩形区域R : x x0 a, y y0 b, (3.2)
上连续, 并且对y满足Lipschitz条件:
即存在L 0,使对所有(x, y1), (x, y2) R常成立
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2
故y (x)为(3.5)的连续解.
反之 若y (x)为(3.5)的连续解,则有
x
(x) y0 x0 f (t,(t))dt
由于f (x, y)在R上连续, 从而f (t,(t))连续,
故对上式两边求导,得
d(x) f (x,(x))
dx
且 (x0 ) y0
x0 x0
f
( x, ( x))dx
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
需解决的问题
10
初值问题
dy dx
f
(x, y),的解是否存在?
y(x0 ) y0
20
若初值问题
dy dx
f
(x, y),的解是存在,是否唯一?
y(x0 ) y0
§3.1 解的存在唯一性定理与逐 步逼近法
一 存在唯一性定理
1 定理1 考虑初值问题
dy
(4) (x)是积分方程(3.5)定义于[x0 h, x0 h]上连续解
且唯一.
下面分五个命题来证明定理,为此先给出
积分方程
如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.
如: y ex x y(t)dt,就是一个简单的积分方程. 0
积分方程的解
即命题2当n k 1时成立, 从而命题2对所有n都成立,
命题3 函数序列{n (x)}在[x0, x0 h]上一致收敛.
记
lim
n
n
(
x)
(
x),
x [x0, x0 h].
证明: 考虑函数项级数
0 (x) (n (x) n1(x)), n1
只需{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收敛于(x).
n
由于 0 (x) (k (x) k1(x)) n (x), k 1 于是函数列{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收
敛性, 等价于函数项级数
0 (x) (n (x) n1(x)), n1
在[x0 h, x0 h]上一致收敛性.
x
这是为了
lim
n
n1
(
x)
y0
lim
n
x
x0 f ( ,n ( ))d
y0
x0
lim
n
f
( ,n ( ))d
即
x
(x) y0 x0 f ( ,( ))d ,
只需函数列{ f (x,n (x))}在[x0 h, x0 h]上一
致收敛于f (x,(x)).
由 f (x,n (x)) f (x,(x)) Ln (x) (x)
任取一连续函数0 (x), 0 (x) y0 b, 代入(3.5)
右侧的y, 得
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
若1(x) 0 (x),则0 (x)为解,否则将1(x)代入(3.5)
右侧的y, 得
2 (x) y0
x x0
f ( ,1( ))d
若2 (x) 1(x),则1(x)为解,否则将2 (x)代入(3.5)
右侧的y,
x
n1(x) y0 x0 f ( ,n ( ))d ,
这里要求n (x) y0 b, 若n1(x) n (x),则n (x)为解,
否则一直下去可得函数列{n (x)}
(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)
(3) 函数序列{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收敛于(x).
x
k1(x) y0 x0 f ( ,k ( ))d
由f (x, y)在R上连续性知,
f (x,k (x))在[x0, x0 h]上连续
从而k1(x)在[x0, x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x
x0 f ( ,k ( )) d
M x x0 Mh b
则初值问题(3.1)在区间x x0 h上的解存在且唯一,
这里h min( a, b ), M Max f (x, y)
M
( x, y)R
证明思路 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程
x
y y0 x0 f (t, y)dt
的连续解.
(3.5)
(2) 构造(3.5)近似解函数列 {n (x)}
x
y(x0 ) y0
y y0 x0 f (t, y)dt (3.5)
证明:若y (x)为(3.1)的连续解,则
d ( x)
dx
f
( x, ( x)),
(x0 ) y0
对第一式从x0到x取定积分得
x
即
x (x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx (x) y0 x0 f (x,(x))dx
对于积分方程y y0
x x0
f (t, y)dt,如果存在定义在区间
I [ , ]上的连续函数y (x), 使得
x
(x) y0 x0 f (t,(t))dt
在区间I上恒成立,则称y (x)为该积分方程的解.
命题1
初值问题(3.1)等价于积分方程
dy dx
f
(x, y), (3.1)