线段 AF，AE 的数量关系，并证明你的结论；
② 若 AB 2 5 ， CE 2，在图 ② 的基础上将 CED 绕点 C 继续逆时针旋转一周的过
程中，当平行四边形 ABFD 为菱形时，直接写出线段 AE 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）① AF 2AE ② 4 2 或 2 2 .
【解析】 【分析】
【答案】（1）P 点坐标为（x，3﹣ x）． （2）S 的最大值为 ，此时 x=2． （3）x= ，或 x= ，或 x= ． 【解析】
试题分析：（1）求 P 点的坐标，也就是求 OM 和 PM 的长，已知了 OM 的长为 x，关键是 求出 PM 的长，方法不唯一，①可通过 PM∥ OC 得出的对应成比例线段来求； ②也可延长 MP 交 BC 于 Q，先在直角三角形 CPQ 中根据 CQ 的长和∠ ACB 的正切值求出 PQ 的长，然后根据 PM=AB﹣PQ 来求出 PM 的长．得出 OM 和 PM 的长，即可求出 P 点的 坐标． （2）可按（1）②中的方法经求出 PQ 的长，而 CN 的长可根据 CN=BC﹣BN 来求得，因此 根据三角形的面积计算公式即可得出 S，x 的函数关系式． （3）本题要分类讨论： ①当 CP=CN 时，可在直角三角形 CPQ 中，用 CQ 的长即 x 和∠ ABC 的余弦值求出 CP 的表 达式，然后联立 CN 的表达式即可求出 x 的值； ②当 CP=PN 时，那么 CQ=QN，先在直角三角形 CPQ 中求出 CQ 的长，然后根据 QN=CN﹣ CQ 求出 QN 的表达式，根据题设的等量条件即可得出 x 的值． ③当 CN=PN 时，先求出 QP 和 QN 的长，然后在直角三角形 PNQ 中，用勾股定理求出 PN 的长，联立 CN 的表达式即可求出 x 的值． 试题解析：（1）过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q， 有题意可得：PQ∥ AB， ∴ △ CQP∽ △ CBA，
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动．
（1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明∠ BMC=90°； （2）如图 2，当 b＞2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在∠ BMC=90°，若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 b＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）存在，理由见解析; （3）不成立．理由如下见解析. 【解析】 试题分析：（1）由 b=2a，点 M 是 AD 的中点，可得 AB=AM=MD=DC=a，又由四边形 ABCD 是矩形，即可求得∠ AMB=∠ DMC=45°，则可求得∠ BMC=90°； （2）由∠ BMC=90°，易证得△ ABM∽ △ DMC，设 AM=x，根据相似三角形的对应边成比 例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由 b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△ ＞0，即可确定方程有 两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意； （3）由（2），当 b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程 x2﹣bx+a2=0 的根的情况，即可求得答 案． 试题解析：（1）∵ b=2a，点 M 是 AD 的中点， ∴ AB=AM=MD=DC=a， 又∵ 在矩形 ABCD 中，∠ A=∠ D=90°， ∴ ∠ AMB=∠ DMC=45°， ∴ ∠ BMC=90°． （2）存在， 理由：若∠ BMC=90°， 则∠ AMB+∠ DMC=90°， 又∵ ∠ AMB+∠ ABM=90°， ∴ ∠ ABM=∠ DMC， 又∵ ∠ A=∠ D=90°， ∴ △ ABM∽ △ DMC， ∴ AM AB ，
CD DM
设 AM=x，则 x a ， a bx
整理得：x2﹣bx+a2=0， ∵ b＞2a，a＞0，b＞0， ∴ △ =b2﹣4a2＞0， ∴ 方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴ 当 b＞2a 时，存在∠ BMC=90°， （3）不成立． 理由：若∠ BMC=90°， 由（2）可知 x2﹣bx+a2=0， ∵ b＜2a，a＞0，b＞0， ∴ △ =b2﹣4a2＜0， ∴ 方程没有实数根， ∴ 当 b＜2a 时，不存在∠ BMC=90°，即（2）中的结论不成立． 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质
∴
∴
解得：QP= x，
∴ PM=3﹣ x，
由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），
P 点坐标为（x，3﹣ x）．
（2）设△ NPC 的面积为 S，在△ NPC 中，NC=4﹣x，
NC 边上的高为 ，其中，0≤x≤4．
∴ S= （4﹣x）× x= （﹣x2+4x）
=﹣ （x﹣2）2+ ．
交
BC
于
M
11 2
,
6
，
MN
62
11 2
5
2
2
3
5．
（ 3 ）存在，直线 y x 平分五边形 OABCD 面积、周长．
∵ P(10 5 2,10 5 2) 在直线 y x 上，
∴ 连 OP 交 OA 、 BC 于点 E 、 F ， 设 BC : y kx b ， B(8, 2)C(2,8) ，
∴ S 的最大值为 ，此时 x=2．
（3）延长 MP 交 CB 于 Q，则有 PQ⊥BC． ①若 NP=CP，
∵ PQ⊥BC， ∴ NQ=CQ=x． ∴ 3x=4， ∴ x= ． ②若 CP=CN，则 CN=4﹣x，PQ=x，CP= x，4﹣x= x， ∴ x= ； ③若 CN=NP，则 CN=4﹣x． ∵ PQ= x，NQ=4﹣2x， ∵ 在 Rt△ PNQ 中，PN2=NQ2+PQ2， ∴ （4﹣x）2=（4﹣2x）2+（ x）2， ∴ x= ． 综上所述，x= ，或 x= ，或 x= ．
理由：连接 EF，DF 交 BC 于 K． 四边形 ABFD 是平行四边形，
AB / /DF ， DKE ABC 45 ， EKF 180 DKE 135 ， EK ED，
ADE 180 EDC 180 45 135 ， EKF ADE ，
DKC C ， DK DC ，
考点：二次函数综合题．
5．如图 ① ，在等腰 Rt ABC 中， BAC 90 ，点 E 在 AC 上 ( 且不与点 A、C 重合 ) ， 在△ABC 的外部作等腰 Rt△CED ，使 CED 90 ，连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边
作平行四边形 ABFD，连接 AF．
1 请直接写出线段 AF，AE 的数量关系； 2①将 CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图 ② ，连接 AE，请判断
问题解决：
（ 3 ）如图③，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABCD 的边 OA 、 OD 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上， DC∥x 轴， AB∥y 轴，且 OA OD 8 ， AB CD 2 ，点 P(10 5 2,10 5 2) 为五边形内一点．请问：是否存在过点 P 的直线 l ，分别与边 OA 与 BC 交于点 E 、 F ，且同时平分五边形 OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点 E 和 点 F 的坐标：若不存在，请说明理由．
，
，
，
，
在
中，
，
过点 作
于，
，
，
，
，
，
，
、 、 共线，
，
四边形
是矩形，
，
. 【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾 股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作 法，注意数形结合思想的应用.
4．如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A，B 的坐标分别为（4，0）， （4，3），动点 M，N 分别从 O，B 同时出发．以每秒 1 个单位的速度运动．其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动．过点 M 作 MP⊥OA，交 AC 于 P，连接 NP，已知动点运动了 x 秒． （1）P 点的坐标为多少（用含 x 的代数式表示）； （2）试求△ NPC 面积 S 的表达式，并求出面积 S 的最大值及相应的 x 值； （3）当 x 为何值时，△ NPC 是一个等腰三角形？简要说明理由．
DF AB AC， KF AD ， 在 EKF 和 EDA 中， EK ED EKF ADE ， KF AD EKF ≌ EDA ， EF EA， KEF AED， FEA BED 90 ， AEF 是等腰直角三角形， AF 2AE ． ② 如图 ③ 中，当 AD AC 时，四边形 ABFD 是菱形，设 AE 交 CD 于 H，易知 EH DH CH 2 ， AH (2 5)2 ( 2)2 3 2 ， AE AH EH 4 2 ，
2．问题发现：
（1）如图①，点 P 为平行四边形 ABCD 内一点，请过点 P 画一条直线 l ，使其同时平分 平行四边形 ABCD 的面积和周长．
问题探究：
（ 2 ）如图②，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 、 OC 分别在 x 轴、 y
轴正半轴上，点 B 坐标为 (8, 6) ．已知点 P(6, 7) 为矩形外一点，请过点 P 画一条同时平分 矩形 OABC 面积和周长的直线 l ，说明理由并求出直线 l ，说明理由并求出直线 l 被矩形 ABCD 截得线段的长度．
8k b 2 k 1
{
，{
，
2k 8 b 10
∴ 直线 BC : y x 10 ，
联立{
y y
x
x
10
，得
x
y
5 5
，
∴ E(0, 0) ， F (5,5) ．