8．1 椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a ,b ,c ,e 等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P |e d PF=，0＜e ＜1的常数}。

（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（一个∆Rt ）《（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），这种形式用起来更方便。

3．性质：对于椭圆：12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点; ④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本)此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式： |PF 1|=左r =a +ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；(由第二定义推得)c a PF c a PF -=+=min max ,⑧焦准距c b p 2=；准线间距c a 22=;通径长22b a⨯;⑨最大角()12122max F PF F B F ∠=∠{证:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则222221212121212221222124()24cos 222211,"",.()2r r c r r r r c P r r r r b b r r r r a +-+--==≤-=-==+时取角最大对于椭圆：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。

4．椭圆方程中的a ,b ,c ,e 与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关．5．对椭圆方程22221x y a b+=作三角换元即得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ；注意θ不是∠xOP (x ,y )． 6．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：设椭圆：12222=+by a x 上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =22b x a y -, 对椭圆：12222=+b x a y , 则k AB =2020a xb y -．…三、双基题目练练手1．（2006全国Ⅱ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )A ．B ．6C ．D ．122．(2005广东) 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m =（ ） A ．3B ．23C ．38D ．323． (2006山东)在给定椭圆中，，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为 ( )AB ．2C ．12D ．44．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为 ( )A ． 3－1B ．2－3C ．22 D ．23 5．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为__________________．6．(2006四川15)如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=____________． …简答提示：1-4．CBBA ；4．易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1． 5． 122x +92y =1或92x +122y =1；6．根据椭圆的对称性知，11711112||||||||2PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41||P F a =，∴ 1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=7a =35四、经典例题做一做【例1】若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程． 分析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22．OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程． —解法1：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）．x +y =1， ax 2+by 2=1，∴x 0=221x x +=b a b +，y 0=221y y +=1－221x x +=b a a+． ∴M （b a b +，b a a+）．∵k OM =22，∴b =2a ． ①由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1． ∴x 1x 2+y 1y 2=0．$∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2），∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=b a a +-1．∴b a b +-1+ba a +-1=0． ∴a +b =2．②由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）． ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1． 法2：(点差法)由ax 1+by 1=1, ax 2+by 2=1相减得12121212y y a x x x x b y y -+=--+,即001a x b b y -=-==…下同法1． 提炼方法：1．设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），借助韦达定理推出b =2a ．．再由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0,转换出a ,b 的又一关系式,2．点差法得b =2a ．…%【例2】(2005湖南) 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e ． 直线,l ：y ＝ex ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λ．（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）若43=λ，△MF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程；（理科无此问） （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由．所以点M 的坐标是（a b c 2,-）． 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得．证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a-设M 的坐标是),,(),(),,(0000a eay e a x AB AM y x λλ=+=得由所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-ee b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ即)（Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a 所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x （Ⅲ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形． 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-.1)1(2,13.220102202200000e a e y c e e x a c x e y e cx y 解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e @于是32112=-=e λ． 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形．【例3】(2005春上海)（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a ． 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C于A B 、两点，AB 的中点为M ． 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴ 124422=++b b ， 解得 42=b 或22-=b （舍），由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x ．!（2）设直线l 的方程为m kx y +=， 与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x mkx y ，解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-．则 222221212222212,2k a b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+，∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b kma ．∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上．（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心．【例4】 （2006江西）如图,椭圆2222:1(0)x y Q a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ,过点F 的一动直线m 绕点F 转动,并且交椭圆于A 、B 两点, P 为线段AB 的中点．(1) 求点P 的轨迹H 的方程;(2) 若在Q 的方程中,令221cos sin ,sin (0).2a b πθθθθ=++=≤<确定θ的值,使原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时设l 与x 轴交点为D ,当直线m 绕点F 转动到什么位置时,三角形ABD 的面积最大解：如图(1)设椭圆2222:1x y Q a b+=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y ,又设P 点坐标为(,)P x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩………………① 1︒ 当AB 不垂直x 轴时，12,x x ≠#由①—②得M、OA 1 M 1 N 1D 1 C 1NB D B 1—C………………②22121221221222222()2()20,,0,(*)b x x x a y y y y y b x y x x a y xc b x a y b cx -+-=-∴=-=--∴+-=2︒当 AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*）． 故所求点P 的轨迹H 的方程为： 222220b x a y b cx +-=．(2)因为,椭圆Q 右准线l 方程是2a x c =,原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为2a c ,222222,1cos sin ,sin (0).22sin().24c a b a b a c πθθθθθπ=-=++=≤==+由于则<2πθ=当时,上式达到最大值,所以当2πθ=时,原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时222,1,1,(2,0),1a b c D DF ====．设椭圆 22:121x y Q +=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y , △ABD 的面积1212111.222S y y y y =+=- 设直线m 的方程为1x ky =+,代入22121x y +=中,得22(2)210.k y ky ++-= …由韦达定理得12122221,,22k y y y y k k+=-=-++()()222212121222814()()4,2k S y y y y y y k +=-=+-=+ 令211t k =+≥,得28424tS t≤=,当1,0t k ==取等号． 因此,当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时, 三角形ABD 的面积最大．特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况”.【研讨．欣赏】（1）已知点P 的坐标是(-1,-3)，F 是椭圆1121622=+y x 的右焦点,点Q 在椭圆上移动，当PQ QF 21+取最小值时，求点Q 的坐标，并求出其最小值。