4 R 电磁场与电磁波V '
22
体电流分布： A 0 J (r ')dV '
4 V ' R
面电流分布： A 0 Js (r ')dS '
4 S ' R
线电流分布： A 0 I dl '
4 l ' R
电流元：
dA 0 Idl 4 R
电磁场与电磁波
23
A
0
4
A
0
4
JdV
V源 R源场 JS • dS
真空中，线电流回路C1、C2
C1对C2的作用力为F1-2
F12
C1
0 I 2dl2 (I1dl1 aR )
dl1
r1
dl2
R
r2
4 C2 C1
R2
O
电磁场与电磁波
C2
5
F12
0 4
C2 C1
I 2dl2
(I1dl1 aR )
R2
真空中磁导率 (Permeability)：
4 V ' R
矢量恒等式： (uF ) u F u F
( 1 ) J (r ') J (r ') 1 J (r ')
R
RR
B 0 J (r ')dV '
4 V '
R
J(r’)是源点的函数，此项计算为0
[ 0
J (r ')dV '] A
4 V ' R
A 0 J (r ')dV '
0I 2
ln
r0 r
B
a
0 I 2 r
电磁场与电磁波
27
例. 平行(双)传输线周围磁场？
传输线间距：2a
分析：
1. 矢量磁位的方向 2. 磁通密度的方向
I
I
3. 如何建立柱座标系？
y
P(r , ,0)
电磁场与电磁波
r2
r r 1
x
aa
28
利用上题结果：“长直导线周围的磁位”
A1
aI I1
0 4 10 7 (H / m)
真空中介电常数 (Dielectric Constant)：
0
4
1 9 109
8.851012(F
/ m)
1 ?
0 0
电磁场与电磁波
6
2.磁感应F1强2 度4C20、I2Cd2磁Cl12I通2dl4密20 度(CRI1 1I2d1ld1lR1 2a
R)
dB
0 4
Idl R2 (az aR )
0 4
Idl sin
R2
a
R
Idl
——“毕奥-沙伐”定理的微分形式
电磁场与电磁波
10
3. Biot-Savart’s Law
1. 微分形式 2. 积分形式
B
dB
0
4
0I 4 C
Idl
sin
R2
dl aR
R2
a
线电流
B 0
已经得到 2 A 0J B 0J 真空中安培环路定律的微分形式
任意端面作积分，并用Stoke’s Law
B • dl C
S B • dS 0
S J • dS 0 I
真空中安培环路定律的积分形式
电磁场与电磁波
31
“电”、“磁”对比
•E 0 E 0
E • dS Q
S
0
J aR dV V R2
体电流
场分布对称时
安培环路定律
B • dl 0I
C
电磁场与电磁波
16
例. 电流环在轴线上的磁感应强度
已知: 半径a和电流I
直接求解. B
dB
0
Idl
a
(I
a
Sd )
4
R
a
z
R
cos
ar
R
sin
C
I源dl源 R源2 场
aR
闭合 环路C
a
z
P(0,0,z)
0 2
ln
r0 r
方向？
空 间任意一点P处的磁位：
y
P(r , ,0)
r2
r r1
x
A A1 A2
a
az I
0 2
ln
r0 r1
azI
0 2
ln
r0 r2
a
A
az
0 2
I
ln
r2 r1
....ln
a2 a2
r r
2 2
2ar 2ar
cos cos
ez
aR
I 2dl2 B
C2
B
0
I1dl1 aR
4 C1 R 2
电磁场与电磁波
7
磁通密度、磁场感应强度: B
——“毕奥-沙伐”定理的积分形式
任何直流电流回路在周围空间的磁场分布
aB
B 0
4
C
I源dl源 R2
源场
aR
Idl
R
磁感应强度单位：
1. T (特[斯拉])：Tesla
2. Wb/m2 (韦[伯]/ 米2)
I
2
R12
应用安培环路定律,得
B dl l
2
0
Bd
0
I 2
R12
B
0 I 2R12
e
33
2) R1 R2
2
B dl
l
0
Bd 0I
B
0 I 2
e
(2)
3 ) R2 R3, 这时穿过半径为 的圆面积的电流为
I I
I
2
R32
R22 R22
I
R32 R32
2
R22
应用安培环路定律，得
4
'
J (r ') aR R2
d
'
体电流
电磁场与电磁波
B 0
4
S'
JS
(r ') aR R2
dS
面电流
11
4.受力
F l Idl B
dF Idl B (dq)(vdt) B dqv B dt
洛伦兹力
F qv B
F合 qE qv B
电磁场与电磁波
12
5. 恒定磁场散度方程的微分形式
对于体电流分布
B 0 4
V
'
J
(r ') R2
aR
dV
'
• B 0 • J (r ') aR dV '
4 V '
R2
aR 1
R2
R
• B 0 •[ 1 J (r ')]dV ' •(F G) G • F F •G
4 V '
R
•[ 1 J (r ')] J (r ') • 1 1 • J (r ')
2 A 0J (r ) 矢量磁位的泊松方程
2 Ax 0 J x
Ax
0 4
J x dV ' V' R
2 Ay 0 J y
Ay
0 4
J y dV ' V' R
2 Az 0 J z
联想 2
的解
Az
0 4
J z dV ' V' R
0
电磁场与电磁波
25
2
0
1
4 0
V源
R源场
dV
类比写出：A*
电磁场与电磁波
8
对于电流元 Idl ，dB 为
dB
0 4
I源dl源
R源2 场
aR
—电流元产生的“磁场”
对比记忆
dE14 0dq源 R源2 场aR
—电荷产生的“电场”
电磁场与电磁波
9
dB
0 4
I源dl源大 a小R 、方向
R源2 场
大小？ 方向：“右手螺旋”
az
a
aR
——电流在某处产生磁场
R S源
源场
A
0I
4
dl
R C源 源场
dA
0 Idl
4R源场
引入矢量磁位的好处？
矢量磁位的方向？
可以使运算变得较简单：
• 与电流同向 • 有时与电流元成简单的线性关系 • 二阶偏微分方程常可分解成标量泊松方程形式
电磁场与电磁波
24
矢量磁位的微分方程
可以证明矢量磁位满足以下微分方程（毕德显p.246）
第3章 恒定磁场
引言——源——电流密度 恒定磁场的基本方程
矢量磁位 恒定磁场中的介质 边界条件 电感 磁场能量和磁场力*
电磁场与电磁波
1
什么是恒定磁场？
电流: 电荷在电场作用下的宏观定向运动。 恒定电流(直流): 不随时间变化的电流。 恒定磁场: 导体中有恒定电流通过时，在导体 内部不仅有恒定电场，还有不随时间变化的磁 场，即恒定磁场。 恒定磁场和静电场、恒定电场是性质完全不同 的场，但在分析方法上有许多共同之处。 同前类似，从有关的试验定律出发，引出数学 描述——恒定磁场基本方程。
)3 / 2
ex
电磁场与电磁波
19
§3.2 矢量磁位
Important Conclusions:
B • dS A • dS A• dl
S
S
C
dA
0 Idl
4R源场
电磁场与电磁波
20
§3.2 矢量磁位(Vector Magnetic Potential)