å
（2）当df 勾1时（R C列联表）用一般公式计算X 2值： x2 =
å
( A - T )2 T
(3) 进行X2检验，根据df=(c-1)(r-1)， 查临界 2值： 20.05、 20.01 值；
将所计算得的 2或 进行比较，得出结论。
2
c值与临界值
A 若2 (或2c)＜20.05，P＞0.05， 表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可 以认为两个因子相互独立； B 若20.05≤2 (或2c)＜20.01，0.01＜P≤0.05， 表明实际观察次数与理论次数差异显著，可以 认为两个因子之间是显著相关的. C 若2 ( 或2c)≥20.01，P≤0.01， 表明实际观察次数与理论次数差异极显著 ，可 以认为两个因子之间是极显著相关的.
三、独立性检验的方法
（一）2×2列联表的独立性检验 2×2列联表的一般形式p167;
自由度df=(c-1)(r-1)=(2-1)(2-1)=1， 在进行2检验时，需作连续性矫正，应计
算
2 c
值。
表7—10 2×2列联表的一般形式
其中Aij为实际观察次数，Tij为理论次数。
【例7.7】 某猪场用80头猪检验某种疫苗是否有预防
与连续型随机变量 2分布相近似 ，这时， 可不作连续性矫正 ，但要求各组内的理论
次数不小于5。若某组的理论次数小于5，
则应把它与其相邻的一组或几组合并，直
到理论次数大于5为止。
c
2
=
å
( A- T ) T
2
x
2 c
=
å
( A - T - 0.5) T
2

X2检验：是次数资料显著性检验的方法， 它通过提出某种假设，用理论次数（T） 与观察次数（A）进行比较，从而确定 两者符合程度。
2 c
表7—2 2c计算表
2 cC = S
(| A - T | - 0.5) 2 (| 79 - 65 | - 0.5) 2 65
=
T (|181- 195 | - 0.5) 2 195
+
= 3.739
(五)查临界2值，作出统计推断
当自由度 df=1 时， 查 得 ， 20.05（1） =3.84
一、独立性检验的概述
1、定义：是次数资料相关性的研究。 通过比较理论次数（T）和观察次数 （A），研究两类试验因子之间是相 互独立的还是有影响的。 2、H0：两类因子是相互独立的
3、观察数据（A）的给出用以因子划分 的两向列联表给出（p167） 根据两因子属性类别数的不同而构成 2×2、2×c、r×c列联表（r为行因子 的属性类别数， c 为列因子的属性类 别数）。
物的治愈头数和未治愈头数。
（1）分析药物种类与疗效是否相关，若两者 彼此相关，表明疗效因药物不同而异，即两种 药物疗效不相同；
（2）若两者相互独立，表明两种药物疗效相
同。
这种根据次数资料判断两类因子彼此相关或相
互独立的假设检验就是独立性检验。独立性检 验实际上是基于次数资料对因子间相关性的研 究。
二 适合性检验的步骤
T=总观察次数×类别比例
（1）当df = 1时，用校正公式计算X 2值： X 2c =
å
( A - T - 0.5) 2 T
（2）当df ¹ 1时，用一般公式计算X 2值： X2 =
å
( A - T )2 T
(3) 进行X2检验，根据df=k-1，查临界 2值： 20.05、 20.01 值；
表7-1 羔羊性别实际观察次数与理论次数
问题:
实际观察次数与理论次数存在一定的差异,
这里公、母各相差10只。这个差异是属于抽样
误差?还是羔羊性别比例发生了实质性的变化?
要回答这个问题,首先需要确定一个统计量
用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度;
然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，
即进行显著性检验。
2
+
10
2
438
= 0.4566
表明实际观察次数与理论次数是比较接近的。
回顾：2 (chi-square)分布

定义（P156）

设有n个随机变量X1, X2, , Xn，彼此独立且 都服从标准正态分布 N(0, 1)，则称随机变量
Y=
å
2
X
2 i
服从自由度为n 的 2 分布，记为
Y ~ (n)
T =0.5444+1.6333+1.6333+0.9 =4.711
X =
2
å
( A- T )
2
（五）查临界2值，作出统计推断 当df=3时，20.05(3)=7.81，因 2<2005(3) ，
P>0.05，不能否定H0 ，
表明实际观察次数与理论次数差异不显著，
可以认为毛色与角的有无两对性状杂 交 二 代
的 分 离 现 象 符 合 孟 德 尔遗传规律中
9∶3∶3∶1的遗传比例。
第三节 独立性检验
一、独立性检验的概述
对次数资料，除进行适合性检验外，有时需 要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。 如研究两类药物对家畜某种疾病治疗效果的 好坏，先将病畜分为两组，一组用第一种药物治
疗，另一组用第二种药物治疗，然后统计每种药
计算的2c<20.05（1），P>0.05，不能否定H0； 表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可
以认为白色羊与黑色羊的比率符合孟德尔遗传分
离定律3∶1的理论比例。
【例7.2】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状
分离现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二 代出现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛
二独立性检验检验的步骤
（1）提出假设
H0：两类因子之间是相互独立的 HA：两类因子之间是有关联的 （2）在H0成立的条件下，计算理论次数T和X2值
理论次数 =
横行总和´ 纵列总和 总观察次数
=
Zr ´ Zc T
二 独立性检验的步骤
T=总观察次数×类别比例
（1）当df = 1时（2 2列联表）用校正公式计算X 2值： x 2c = ( A - T - 0.5) 2 T
1 2≥0 ， 即 2 的 取 值 范 围 是[0,+∞；
2 2分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。
随自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称；
3 df≥30时， 2c 2接 近 平均数为
布。
2df - 1 的正态分
不同自由度的 2概率分布密度曲线:
2 分布曲线
三、连续性矫正
效果。结果是注射疫苗的44头中有 12 头发病，32头未
发病；未注射的36头中有22头发病，14头未发病，问 该疫苗是否有预防效果？ 1、 先将资料整理成列联表
表7—11 2×2列联表
2、 提出无效假设与备择假设 H0：发病与否和注射疫苗无关，即二因子相 互独立。 HA：发病与否和注射疫苗有关，即二因子彼 此相关。 3、 计算理论次数 根据二因子相互独立的假设，由样本数据计 算出各个理论次数。 二因子相互独立，就是说注射疫苗与否不影 响发病率。也就是说注射组与未注射组的理论 发病率应当相同，均应等于总发病率 34/80=0.425=42.5%。依此计算出各个理论次数 如下：
二 适合性检验的步骤
【例7.1】 在进行山羊群体遗传检测时，观 察了 260只白色羊与黑色羊杂交的子二代毛色， 其中181只为白色，79只为黑色，问此毛色的比 率是否符合孟德尔遗传分离定律的3∶1比例?
检验步骤如下：
（一）提出无效假设与备择假设
H0：子二代分离现象符合3∶1的理论比例。
HA：子二代分离现象不符合3∶1的理论比例。
计算的 2只是近似地服从连续型随机变量2 分布。在对次数资料进行 2检验利用连续型随 机变量 2分布计算概率时，常常偏低，特别是 当自由度为1时偏差较大。 Yates(1934)提出了一个矫正公式，矫正后的
2值记为：
x
2 c
=
å
( A - T - 0.5) T
2
(7-4)
当自由度大于1时，(7-1)式的 2分布
（二）选择计算公式 由于本例是涉及到两组毛色（白色与黑色），属 性类别分类数k=2，自由度df=k-1=2-1=1，须使用
2 （7—4）式来计算 c
（三）计算理论次数
根据理论比率3∶1求理论次数： 白色理论次数：T1=260×3/4=195
黑色理论次数：T2=260×1/4=65
或 T2=260-T1=260-195=65 （四）计算
第二节 适合性检验
4、数据（A）的给出形式：从单向分出不 同的质性类别及给出相应的观察次数。 5、进行X2检验：df=k-1，k为质性类别数； 6、应用： （1）检验或验证遗传规律：1:1、3:1、 9:3:3:1 （2）资料分布类型的适合性检验（p162）
第二节 适合性检验
二 适合性检验的步骤 （1）提出假设 H0：观察次数（A）与理论次数（T）相 符某性状比例符合某理论比例，A—T之间 的差异是误差造成的。 HA：A—T不相符 （2）据已知的理论比例计算出理论次数，进 一步计算X2值
Biostatistics and Experimental Design
畜牧、兽医专业
生物统计 附 试验设计
第七章 次数资料分析 2检验 ——
本章将分别介绍对次数资料、等级
资料进行统计分析的方法。
第一节 2统计量与 2分布
一、
2
统计量的意义
根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有公 羔428只，母羔448只。按1:1的性别比例计算， 公、母羔均应为438只。 以A表示实际观察次数，T 表示理论次数， 可将上述情况列成表7-1。