（二）2×c列联表的独立性检验
表6-6 2×c联列表一般形式
其中Aij为实际观察次数, Tij为理论次数 （i=1，2；j=1，2，…，c）。
【例6·5】 检测甲、乙、丙3种农药对烟蚜 的毒杀效果：用甲农药处理187头烟蚜，其中37 头死亡，150头未死亡；用乙农药处理 149头烟 蚜，其中49头死亡，100头未死亡；用丙农药处 理80头烟蚜 ， 其中23头死亡，57头未死亡。 分析这三种农药对烟蚜的毒杀效果是否一致？
株的理论比例为 红:白=3:1。
孟德尔（1865）在杂交 F2群体中随机
调查了929株，其中705株为红花，224株为 白花。这一结果是否符合3:1的理论比例。
若符合理论比例 红:白=3:1， 929株中的红花株数应为92：9×3/4=696.75株 白花株数应为 929×1/4=232.25株
或 T2=1650-1237.5=412.5。
表6-2
计算表
3、计算
4、统计推断
实际计算的 =1.5644＜
，故p＞0.05，不能否定 ，表明实际观察次
数与理论次数差异不显著。可以认为大豆花色
在F2的这一结果是符合3:1的理论比例，即大豆 紫花与白花这一相对性状在F2的分离比例符合
一对等位基因的遗传规律。
种子灭菌的理论发病穗数：
T11=76×210/460=34.70
种子灭菌的理论未发病穗数：
T12=76×250/460=41.30 或 T12=76-34.70=41.30
种子未灭的理论发病穗数：
T21=384×210/460=175.30 或 T21=210-34.70=175.30
种子未灭菌的理论未发病穗数：
实际上获得的是红:白=705:224=3.147:1。 实际观察次数与理论次数有差异，各相差 8.25株。
产生这种情况有两种可能：一种是红花 植株与白花植株的比例不符合3:1；另一种是 符合3:1，实际出现的 705:224是抽样误差造 成的。
到底属于哪种情况 ，需寻求合适的统计 数进行统计分析，即进行显著性检验。
表6-1豌豆杂交F2花色分离的实际观察次数与理论次数
由表6-1看出，两组的差数A1－T1、A2－T2
之和等于0，即
。因此，
不
能用来表示实际观察次数与理论次数符合程度
的大小。
先将A1－T1、A2－T2平方，然后再求和，即
计算
。
数值的大小可用来表示实际观
察次数与理论次数的相差程度 。
用
来表示实际观察次数与理论次数
表6-7 三种农药毒杀烟蚜的死亡情况
1、 提出假设
：对烟蚜的毒杀效果与农药类型无关； ：对烟蚜的毒杀效果与农药类型有关。
2、 计算理论次数 在无效假设为正确
的条件下，计算各个理论次数 。
T11=109×187/416=49.00 T12=109×149/416=39.04 T13=109×80/416=20.96 或 T13=109-49.00-39.04=20.96 T21=307×187/416=138.00 T22=307×149/416=109.96 T23=307×80/416=59.04 或 T23=307-138.00-109.96=59.04
（2）独立性检验的理论次数是在两因子 相互独立的假设下计算。
（3）在r×c列联表的独立性检验中 ，共有 rc个理论次数，但受到以下条件的约束：
① rc个理论次数的总和等于rc个实际次数
的总和；
② r个横行中的每一横行理论次数总和等 于该行实际次数的总和。但由于r个横行实际次 数之和的总和应等于rc个实际次数之和，因而 独立的行约束条件只有r-1个；
它服从自由度为n的2分布，记为


若用样本平均数 代替总体平均数μ，则随机变量

服从自由度为n-1的2分布，记为

2分布是由正态总体随机抽样得来的一种
连续型随机变量的分布。
显然 ，2≥0 ， 即 2 的取值范围是
[0,+∞；
2分布密度曲线是随自由度不同而改变
的一组曲线。随自由度的增大， 曲线由偏斜 渐趋于对称；
T22=384250/460=208.70 或 T22=250-41.30=208.70
3、计算
4、统计推断
因为
，
而实
际计算的
介于
和
之间，
故0.01＜p＜0.05，否定 ，接受 ， 表
明种子灭菌与否和散黑穗病发病穗多少显著
有关，这里表现为种子灭菌发病率显著低于
种子未灭菌，说明小麦种子用该药剂灭菌对
图3-14给出了几个不同自由度的 2 概率
分布密度曲线。
2分布密度曲线特点： 1、右尾分布，当V增大到+∞时， 2分布趋近于正
态分布； 2、分布为正值； 3、反J型分布； 4、其自由度为n-1； 5、为连续型变数分布。
第二节 统计数
一、 统计数的意义
豌豆花色遗传中，红花和白花是受一
对等位基因控制的一对相对性状，杂交F2植
数，即
，并记为 ，即
=
为组数，
为第i组的实际观察次数， 为第i组的理论次数。
是度量实际观察次数与理论次数偏离程 度的一个统计数。
对于上述豌豆花色的调查结果（表6-1）， 可计算得：
表明实际观察次数与理论次数是比较接近的。
二、 连续性矫正
统计学家K.Pearson（1899）发现，对于间
断型次数资料由（6-1）式定义的 ，即
在适合性检验中，无效假设 ：实际观察 的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论 或学说； 备择假设 ：实际观察的属性类 别分配不符合已知属性类别分配的理论或学说 。
在无效假设成立的条件下，按已知属性类别 分配的理论或学说计算各属性类别的理论次数。
适合性检验的自由度等于属性类别数减1
。若属性类别数为k，则适合性检验的自由度 为k－1。然后根据（6-1）或（6-2）式计算出
防止小麦散黑穗病是有效的。
在进行2×2列联表独立性检验时，还可下 简化公式 :
（6-4）
利用上式计算 ，不需要先计算理论次数，直接
利用实际观察次数Aij，列、行总和 、 、 、
和全部实际观察次数的总和 计算，计算工作量 小，累计舍入误差也小。
对于【例6·4】，可得： 所得结果与前面计算的结果相同。
续型随机变量 相近，这时，可不作连续性 矫正，但要求各组内的理论次数不小于5。如 果某一组的理论次数小于5，则应把它与其相 邻的一组或几组合并 ，直到合并组的理论次 数大于5为止。
第三节 适合性检验
一、适合性检验的意义
判断实际观察的属性类别分配是否符合已 知属性类别分配理论或学说的假设检验称为适 合性检验 。
若 （或 ）≥
，p ≤0.01，表明实际
观察次数与理论次数差异极显著，实际观察的
属性类别分配极显著不符合已知属检验的方法
【例6·1】 紫花大豆与白花大豆杂交F1全为 紫花，F2出现分离，在F2中共观察1650株，其中
紫花1260株，白花390株。问这一结果是否符合 孟德尔遗传分离定律的3:1比例？
稃尖无色糯稻的理论次数：
T4=743×1/16=46.44， 或 T4=743-417.94-139.31-139.31=46.44。
3、计算
4、统计推断
因 =92.6961 >
，故p＜
0.01，否定 ，接受 ，表明该水稻稃尖和
糯性性状在F2的实际观察次数之比极显著不符
合9:3:3:1的理论比例。
的相差程度还存在一个问题，即各组的理论次数
可能不同。例如，上述两组的实际观察次数与理
论次数的差数的绝对值都是8.25，
都是
68.0625，但二者显然不能相提并论。 红花组是
相对于理论次数696.75，相差 8.25； 白花组是
是相对于理论次数232.25，相差 8.25。
如果把各组的
除以相应的理论次
第三节 独立性检验
一、独立性检验的意义
对于次数资料，还可以分析两类因子是相 互独立还是彼此相关。
例如，研究玉米种子灭菌与否和果穗是否 发病两类因子之间的关系，若相互独立，表示 种子灭菌与否和果穗是否发病无关，灭菌处理 对防止果穗发病无效；若彼此相关，则表示种 子灭菌与否和果穗是否发病有关，灭菌处理对 防止果穗发病有效。
这一结果表明，该两对等位基因并非完全
显性、无连锁。
当属性类别数大于2时，可利用下面简化 公式计算 ：
（6-3）
其中，Ai为第i组的实际观察次数，pi为 第i组的理论比例， 为总观察次数：
将【例6·2】按（6-3）式计算 ：
用（6-3）式计算的 与用（6-1）式计 算的 因舍入误差略有不同。
用（6-3）式计算 不需计算理论次数， 且舍入误差小。
X检验方法讲义
第六章 检验
本章介绍对次数资料进行适合性检 验和独立性检验的 检验法。
第一节、2分布
设有一平均数为μ、方差为 的正态总体。现从此总体 中独立随机抽取n个随机变量：x1、x2、…、xn，并求出其 标准正态离差：
，
，… ，
记这n个相互独立的标准正态离差的平方和为2 ：

或 。将所计算得的 或 值与根据自由
度k－1查 值表（附表7）所得的临界 值：
或 比较：
若 （或 ）＜ ，p＞0.05，表明实际观察
次数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察 的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或 学说；
若 ≤ （或 ）＜ ，0.01＜p≤0.05，表
明实际观察次数与理论次数差异显著，实际观察 的属性类别分配显著不符合已知属性类别分配的 理论或学说；
【例6·2】 两对等位基因控制的两对相对性
状遗传。如果两对等位基因完全显性且无连锁，则F2