• 参考资料：CLM Cha. 5
2.1 CAPM
假定 - CAPM
1. 投资者是市场价格接受者 2. 单期 3. 资产完全可分，可交易. 4. 投资者可通过无风险利率借贷. 5. 不考虑交易成本和税收 6. 投资者是理性的 mean-variance optimizers 7. 关于期望收益和方差-协方差矩阵具有相同的信息.
证券市场线 The Security Market Line
• CAPM 意味着期望收益和风险 β 之间存在线性关系
• 例如，市场的风险溢价为 6%, 那么:
ERi r 0.06i
• 资产 i 的β 值度量了该资产对总组合方差的贡献度.
• 资产组合的 β 等于其中每类资产 β 的加权平均:
• wi = 0时，M的斜率:

ER p
p
wi 0

ERp

wi
p

wi
1
where
பைடு நூலகம்
ER p wi
ERi
ERM
p
wi
1
2 p
2wi
2 i

2(1

wi
)
2 M
2 i,M
4wi i,M
k
kk
Var(Ri ) j2Var(I j )
j jCov(I j , Il ) Var(it )
j 1
j1 l 1,l j
Arbitrage Pricing Theory (APT)
• Stephen Ross (1976)提出 • 比 CAPM 成立的假定条件要简单 • CAPM 仅关注市场风险，APT 认为每个系统性因子都会影响期望收益. • 一价定律 the law of one price: 同样的两个商品/资产应该卖同一价格. • 套利 = 净投资为 0 的资产组合，无风险，却能得到纯盈利. • 资产应合理定价，以确保市场中不存在套利机会.
推导 CAPM
• 假设初始你持有 100% ithe optimal portfolio M ，现在进一步将其中 wi 比例投资到 risky security i, 这样构成组合 p:
ERp wi ERi (1 wi )ERM
p
wi2
2 i

(1

wi
)
2

2 M
2wi (1 wi ) i,M
CAPM检验的思路
• Jensen (1968): 建议进行时间序列回归
Rte,i i i (Rte,m ) t,i where E(t,i ) 0 and Cov(Rte,m,t,i ) 0
• 检验 α 是否在统计上与0有显著差异.
• 结果可有两种解释： 1. 假定 Rm 是真实的市场基准，那么这是检验资产 i 是否根据CAPM正确定价.
iM


2 M

ERM r
M
• 写为:
ERi

r

iM
(ERM

2 M

r)

r

i (ERM

r)
• 资产 i 的风险溢价:
i (ERM r)
• 风险溢价仅由 i 与市场 M 的协方差决定，i自身的方差不起作用（因为可以 分散掉）.
• M 的 β=1. 对于 β=0的资产，称其为无风险资产
n
p wk k k 1
The SML
理论上，所有资产应该落在SML上
ER
expected return
r actual return
Q (buy) M
Q >0 P
S < 0
S (sell)
SML T (sell)
0.5
1 1.2
Beta
Securities which lie above (below) the SML have a positive (negative) ‘alpha’ indicating a positive (negative) ‘abnormal return’, after correcting for ‘beta risk’.
• 例如，对于一个股票组合收益率数据，估计的经验结果是 (系数均统计显著):
0 0.127 1 0.042 compared to E(RMe ) 0.165 2 0.310 i.e. idiosyncratic risk is priced
• 也就是说，估计得到的 SML 相对于理论值太平坦了.
一般检验中都是这么解释. 2. 或者，假定资产 i 根据CAPM正确定价，那么这是检验Rm 是否为真实的市场
基准.
CAPM回归：examples
• CAPM regressions, monthly returns, %, US data 1970:1-2012:12. Numbers in parentheses are t-stats. Autocorr is a N(0,1) test statistic (autocorrelation); White is a chi-square test statistic (heteroskedasticity)
Rit rf i i (Rmt rf ) it where i HiTec index
φ=-0.028 (0.12) δ=1.28 (0.03) R2= 0.74
Single Index Model的问题
• 单个因子够吗? • 如果包括更多因子，那么，还应包括哪些? • SIM 是关于 realized returns (ex-post) , CAPM 则是关于 expected
• firm-specific news 例子: the announcement of an unexpected order for the firm.
APT
• APT 认为，资产合理定价时，不应存在无风险套利机会.
• 假定资产 i 的收益是 k 个因子的线性函数:
• 取期望，有:
k
Rit ai bij Fjt it where b are the factor weights j 1 k
• “真实“ 的市场组合不能观测，使用股票市场指数代替未必正确.因为理论上 的“真实”市场组合是所风险资产构成的，不仅是股票.
CAPM检验的思路
• Lintner (1965) : 建议使用两步回归. 不同股票/股票组合的收益率应该由其 不同的 β 来解释.
1. 对于一个大量股票构成的资产组合（消除了个体风险） i, 估计其 βi:
分位组合的β
实际收益与CAPM预测的收益
实际收益与CAPM预测的收益
2.2 因子模型 Factor models
单因子模型 Single Index Model
• 统计模型：假定任何证券的收益是某个经济变量的线性函数.
Rit i i It it
• 经济变量 I 可有: 股票指数、通胀率、GDP增长率、利率…
Financial Econometrics 金融计量学
2 CAPM and Factor Model
内容
• 资本资产定价模型 Capital Asset Pricing Model (CAPM). • 单一指数模型 Single Index Model (SIM) • The SIM vs. CAPM (ex-post vs. ex-ante) • 套利定价理论 Arbitrage Pricing Theory (APT)
• At wi = 0:
p

wi
wi 0

iM


2 M
M
• 因此，在有效前沿上，M点的斜率是:

ER p
p
wi 0

(ERi ERM ) M
iM


2 M
• 从上一节可知， CML的斜率还可以表示为:
(ERi ERM ) M
Rte,i i i (Rte,m ) t,i where E(t,i ) 0 and Cov(Rte,m,t,i ) 0
2. 使用估计得到的 βi 进行横切面回归:

E(Rte,i
)


0

1i

2
2 i
CAPM检验的思路
• CAPM 预测:
0 0 1 E(RMe ) The market risk premium 2 0 Idiosyncratic risk is not priced
Rte,i i i (Rte,m ) t,i
• “Jensen‘s alpha“ . α > 0 表现优于基准； α < 0 表现差于基准
• 其它两类常用的评估投资收益率的指标
• 夏普率 Sharpe ratio: • 特雷诺率 Treynor ratio:
Si

ie i
i
• 被解释的方差（拟合优度）: R2 i2Var(Rm )
Var(Ri )
• 注: 经验中常用超额收益（扣掉无风险收益之后）
SIM例子
• i monthly excess returns on industry portfolio HiTe, m market (NYSE/AMEX/NASDAQ), 1950-2008
returns (ex-ante)
多因子模型Multi-factor models
• 将 SIM 扩展至 k 个因子
Rit i 1i I1t 2i I2t ... ki Ikt it