《数字信号处理》期末考试题 通信01/电子01/工程电子01 B 卷
一、 直接计算序列⎩⎨
⎧<≤=其它
0)(N n a n h n
和⎩⎨
⎧<≥=-0
00
)(0
n n n n n x n n β的卷积，其中
αβ≠。
（共12分）
二、 求10,
)(-≤≤=N n cn n x 的DFT 。
（共10分）
三、 试求序列{1，j ，-1，-j}的DFT 。
(8分) 四、 用级联型结构实现以下系统函数： （共10分）
)
81.09.0)(5.0()
14.1)(1(4)(22++-+-+=
z z z z z z z H 五、已知截止频率为c ω的理想低通滤波器的幅频响应为：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤='π
ωωωωω
c c
j d e H 01)(
试用矩形窗函数()R W n 设计一个长度为N 的线性相位理想低通数字滤波器。
（10分） 六、设()sin(),
()()sin()a a s s x t t x n x nT nT ππ===，其中T s 为采样周期。
（1）x a (t)信号的模拟频率Ω=？
（2）当T s =1s 时，ω(n)的数字频率ω=? （3）Ω与ω的关系是什么？
（4）当T s =0.5s 时，ω(n)的数字频率ω=? （10分）
七、 试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求在20rad/s 处的幅频响应衰减不大于-2db ，在30rad/s 处的幅频响应衰减大于-10db （计算中截止频率取整数）。
（10分） 八、试画出8点按时间取样的FFT 算法流图，要求具有反序输入序列，自然顺序输出序列，并表示成“原位”计算。
（共10分） 九、随机振幅正弦序列如下式所示：
)2sin()(s fnT A n X π=
式中f 为常数，A 为正态随机变量，即A:N(0,δ2
)，试求该序列的均值、自相关函数并判断
其平稳性。
（10分）
十、已知某模拟滤波器的系统传递函数为3
()(1)(3)
H s s s =
++，分别使用冲击响应不变法
和双线性变换法将上述传递函数转换为数字滤波器的传递函数，采样周期T=0.5s 。
（10分）
附录:可能用到的数据
表1 归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表
表2 窗函数性能表
数字信号处理 B 卷答案
一、共12分
1. 当0n n <时，()0y n = （4分）
2. 当001n n n N ≤<+-时，0
11
()n n n n y n αβαβ
-+-+-=- （4分）
3. 当01n n N ≥+-时，01
()N N N
n n y n αββαβ
-+--=- （4分）
二、共10分 解：1
1
()()N N nk nk
N
N
n n X k x n W
c nW --===
=∑∑ 2分 令
10
2(1)02(1)N nk
N
n k k
N k
N N N
s nW W W N W -=-==+++
+-∑ （1）
23(1)02(2)(1)k k k N k Nk
N N N N N
W s W W N W N W -=++++-+- （2） 由（1）-（2）解得：
s N =- 4分 即()1,2
11k
N
CN
X k k N W -=
=-- 2分 当k=0时，10
(1)
(0)2
N n N N X cn c -=-==⋅
∑ 2分 三、共8分
(0)0X = 2分 (1)4X = 2分 (2)0X = 2分 (3)0X = 2分 ()[0,4,0,0]x k =
四、共10分
2222
112
112
4(1)( 1.41)
()(0.5)(0.90.81)
1 1.41
40.50.90.8111 1.44
10.510.90.81z z z H z z z z z z z z z z z z z z z z ------+-+=
-++--+=-++--+=--+ （4分）
（6分）
五、共10分
1. 求()j d
H e ω'的傅里叶反变换 1sin ()(())j c d
d n
h n F H e n n
ωωπ-''==∈±∞ （5分）
2. 对()d
h n '进行1
2n -移位得： 1()()2
c d N h n h n -'=- （3分）
3. 对()d h n 乘以窗函数得：
()
0,1,21
()()()0
d d R h n n N h n h n W n =-⎧==⎨
⎩其它
（2分）
六、共10分
（1）s rad /π=Ω （2分）
（2）rad T s ππω=⋅=⋅Ω=1 （3分） （3）s T ⋅Ω=ω （2分）
（4）rad T s ππω5.05.0=⋅=⋅Ω= （3
分）
七、共10分
-0.81
解：巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
221()1N
c A j j Ω=
⎛⎫Ω+ ⎪Ω⎝⎭
（2分）
用分贝表示为：
2220lg ()10lg ()10lg 1N c j H j A j ⎡⎤
⎛⎫Ω⎢⎥Ω=Ω=-+ ⎪Ω⎢⎥⎝⎭⎣⎦
有已知得：
222010lg 123010lg 110
N c N
c ⎧⎡⎤
⎛⎫⎪⎢⎥-+=- ⎪Ω⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣
⎦⎨⎡⎤⎪
⎛⎫⎢⎥-+=-⎪ ⎪Ω⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩
（2分） 解得：N=3.371
取N=4时21.387c Ω= （2分） 查表得：4321
() 2.6 3.4 2.61
n h s s s s s =++++ （2分）
令21
s s =
得 432
209062
()56156125547209062
H s s s s s =
+ （2分）
八、共10分
（10分）
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
N N
九、共10分 1.
()0x n μ= （3分）
2. 2
121212(,)[()()]sin(2)sin(2)()x s s R n n E x n x n fnT fn T E A ππ==
2222()()()E A EA E A δ=-=
21212(,)in(2)sin(2)x s s R n n s fnT fn T ππδ∴= （4分）
3. 序列得自相关函数与时间起点有关，所以x(n)不是平稳的随机序列 （3分）
十、共10分
1. 脉冲相应不变法
311()()213
H s s s =
-++ 131
0.51 1.51
311
()[]211311[]211T T H z e z e z
e z e z
--------∴=---=--- （5分）
2. 双线性变换法
11
1221112
4113(12)
()()35263z z s s T z z z z H s H s z z --------==++++==-+ （5分）。