分钟）
）。

5、级数
11
1(1)n n n ∞
-=-∑的收敛情况为（ C ）。

（A ）绝对收敛 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）无法判别
二、填空题（每小题3分，共15分）
6、过点(0,1,1)-且与直线1:
123x y z L -==平行的直线方程为11
123
x y z +-==。

7、yOz 平面上的抛物线2
z y =绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为2
2
z x y =+。

8、函数(,,)u x y z xy yz zx =++在点(1,0,1)-处的全微分为dx dz -+。

9、设2
2xy
x e
+=可确立一个一元函数()y y x =, 则
d (1,0)
d y
x =2-。

10、()x
f x e =展开成麦克劳林级数的表达式为0, !
n
n x x R n ∞
=∈∑。

三、计算题（每小题6分，共30分）
11、已知2
2
,,z u v uv u x y v xy =+=+=，求
,z z
x y
∂∂∂∂。

解：
22(2)1(2)z z u z v uv v u uv y x u x v x
∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅++⋅∂∂∂∂∂ 2222()[()2()]x y xy x y x y xy x y y =++++++；…………………………（3分）
由,x y 的对称性可得：
2222()[()2()]z
x y xy x y x y xy x y x y
∂=++++++∂。

……（6分） 12、计算二重积分
d D
xy σ⎰⎰，其中积分区域{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤。

解：
1
1 0
d D
xy dx xydy σ=⎰⎰⎰⎰……………………………………………………………（3分）
专业： 年级/班级： 姓名： 学号：
1
1
0 0111
224
xdx ydy =⋅=⋅=⎰⎰。

…………………………………………（6分） 13
、利用极坐标求D
σ，其中积分区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤。

解：
2 2
1
D
d d π
σθρρρ=⋅⎰
⎰………………………………………………（3分）
143
π
=。

………………………………………………………………………………（6分） 14、计算22
L
x y s +⎰
（）d ，其中L 为圆周222
2x y +=。

解：2
2
22L L
x y s s +=
⎰
⎰
（）d d ……………………………………………………（3分）
22228ππ=⋅⋅=。

……………………………………………（6分）
15、计算曲面积分
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰，其中∑是界于0, z =3z =之间的圆柱
体2
2
1x y +≤的整个表面的外侧。

解：设,,,P x Q y R z ===且
1P Q R x y z
∂∂∂===∂∂∂。

………………………………（3分） ,,P Q R 在整个Oxyz 空间内有连续偏导，由高斯公式可得
d d 3339x y z ydzdx zdxdy dxdydz ππ∑
Ω
++==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰。

………………………（6分）
四、解答题（每小题8分，共40分）
16、设2
(,,)u f x y z xyz ==，求出f 在点(1,2,1)处沿什么方向具有最大的增长率，最大 增长率是多少？
解：2
2
,,2x y z u yz u xz u xyz ===，(1,2,1)(,,)
(2,1,4)(1,2,1)
grad x y z f u u u ==。

即f 在点(1,2,1)处沿(2,1,4)方向具有最大的增长率。

………………………………（5分）
最大的增长率为(1,2,1)grad f =
=。

……………………………（8分）
17、求旋转抛物面22
z x y =+在(1,1,2)处的切平面和法线方程。

解：
22,2,(1,1)2(1,1)
z z
x x x y ∂∂====∂∂得切平面的法向量(2,2,1)n =-。

……（4分）
切平面方程: 2(1)2(1)(2)0x y z -+---=；法线方程：112
221
x y z ---==
-。

（8分）
18、求表面积为2
(0) a a >体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体三边长为,,x y z 。

设2
(,,,)(222)L x y z xyz xy yz zx a λλ=+++-。

（3分）
对L 关于,,,x y z λ
求偏导并使之为零，解得：x y z ===。

………………（6分） 这是唯一的可能极值点。

因为该问题的最大值一定存在，所以最大值即在这个可能的极
3a =。

………………（8分） 19、计算积分
22()(sin )L
x y dx x y dy --+⎰
，其中L
为圆周y =(1,0)A -到
(1,0)B 的一段弧。

解：令2
2
,(sin )P x y Q x y =-=-+，
1P Q
y x
∂∂=-=∂∂，注意到,P Q 在整个xOy 平面内有连续偏导，则该曲线积分与路径无关。

……………………………………………（4分） 令l 为从(1,0)A -到(1,0)B 的直线段，则积分
22222
22
()(sin )()(sin )3
1
-1
d d d d d L
l
l
x y x x y y x y x x y y x x x dx --+=--+===
⎰
⎰⎰⎰。

……………………………………………………………………………………………（8分）
20、求幂级数1
n
n x n ∞
=∑的收敛区间及在该区间内的和函数。

解: 1
1lim 11n n n
→∞+=，1n n x
n
∞=∑的收敛区间为(1,1)-。

……………………………………（3分）
令1()n n x s x n ∞
==∑，则1111
1
()1n n n n n n x x s x x n n x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 1
()()ln(1)1 0
0x
x
s x s x dx dx x x
'===---⎰
⎰
，(1,1)x ∈-。

…………………………（8分）。