不等式及其性质（提高）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的． 【答案】D. 【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于163克．故A 选项错；两个糖果的重量小于3221033=克故B 选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C 选项错，四个糖果的重量小于16641421333⨯==克故D 选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式． 举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■ 【答案】C.类型二、不等式的基本性质2.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则a c b c >；（3）若a b >，则1ba<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B.【解析】(1)由22ac bc >得0c ≠，因为2c >0,所以a b >，正确； （2）因为a b >，当0c =时，a c b c =，所以错误；（3）因为a b >，当0a =时，b a 没有意义，而当0a <时，1ba>，所以错误； （4）因为0a >，所以0a -<，b a b -<，正确.【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数. 举一反三：【变式1】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；B ．若a 2＞b 2，则a ＞b C ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b| D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b【答案】D.【变式2】若点P （1﹣m ，m ）在第一象限，则（m ﹣1）x ＞1﹣m 的解集为 ． 【答案】x ＜﹣1.解：∵点P （1﹣m ，m ）在第一象限，∴1﹣m ＞0， 即m ﹣1＜0；∴不等式（m ﹣1）x ＞1﹣m ， ∴（m ﹣1）x ＞﹣（m ﹣1），不等式两边同时除以m ﹣1，得： x ＜﹣1，故答案为：x ＜﹣1．3.设a ＞0＞b ＞c ，且a+b+c=-1，若M ＝b c a +，N ＝a c b +，P ＝bc， 试比较M 、N 、P 的大小． 【答案与解析】∵a+b+c=-1， ∴b+c=-1-a ，∴M=1a a --=−1−1a， 同理可得N=−1−1b ，P=−1−1c；又∵a ＞0＞b ＞c ， ∴1a＞0＞1c ＞1b ，∴−1−1a＜−1＜−1−1c＜−1−1b即M＜P＜N．【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．4.（春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【答案与解析】解：∵x﹣y=﹣3，∴x=y﹣3．又∵x＜﹣1，∴y﹣3＜﹣1，∴y＜2．又∵y＞1，∴1＜y＜2，…①同理得﹣2＜x＜﹣1…②由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1．【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．不等式及其性质（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列不等式中，一定成立的有( ).①5＞-2；②21a >；③x+3＞2；④a +1≥1；⑤22(1)(1)0a b ++>．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2.若a+b ＞0，且b ＜0，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系为（ ）.A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜-b ＜aC ．-a ＜b ＜a ＜-bD ．b ＜-a ＜-b ＜a 3．若a ＜b ，则下列不等式：①111122a b -+<-+；②5151a b -+<-+； ③22a b --<--．其中成立的有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．若0＜x ＜1，则x ，1x，x 2的大小关系是( ). A ．21x x << B ．21x x << C ．21x x << D ．21x x <<A. ①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．（春•丰台区期末）下列不等式变形正确的是（ ） A ．由a ＞b ，得a ﹣2＜b ﹣2B ．由a ＞b ，得﹣a ＜﹣bC ．由a ＞b ，得D ．由a ＞b ，得ac ＞bc二、填空题7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为x m ，则用不等式表示图中标志的意义为________．8．(1)若22a bc c<，则a_________b ； (2)若m ＜0，ma ＜mb ，则a_________b ．9．已知2|312|(2)0x x y m -+--=，若y ＜0，则m________．10．已知关于x 的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a 的取值范围是________． 11．（春•济南校级期末）下列判断中，正确的序号为 ．①若﹣a ＞b ＞0，则ab ＜0；②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0；③若a ＞b ，c≠0，则ac ＞bc ；④若a ＞b ，c≠0，则ac 2＞bc 2；⑤若a ＞b ，c≠0，则﹣a ﹣c ＜﹣b ﹣c ．12．如果不等式3x-m ≤0的正整数解有且只有3个，那么m 的取值范围是________．三、解答题13．用不等式表示：(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x 个，请写出满足条件的x 的关系式；(2)今年，小明x 岁、小强y 岁、爷爷m 岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄．14．若a ＞b ，讨论ac 与bc 的大小关系．15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B ＞0，则A ＞B ；若A-B ＝0，则A ＝B ；若A-B ＜0，则A ＜B ．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．(1)比较3a 2-2b+1与5+3a 2-2b+b 2的大小； (2)比较a+b 与a-b 的大小； (3)比较3a+2b 与2a+3b 的大小．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ；【解析】一定成立的是：①④⑤； 2. 【答案】B. 3. 【答案】A ；【解析】根据不等式的性质可得，只有①成立. 4. 【答案】C ；【解析】∵0＜x ＜1，∴ x 2≤x ≤1x. 5.【答案】A ； 【解析】∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴ac+ad ＜ac+bc ，即a （c+d ）＜c （a+b ），∴a ca b c d <++，所以①正确，②不正确； ∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴bd+ad ＜bd+bc ，即d （a+b ）＜b （d+c ）， ∴d bc d a b<++，所以③正确，④不正确． 故选A ． 6.【答案】B ．【解析】A 、a ＞b ，得a ﹣2＞b ﹣2，错误； B 、a ＞b ，得﹣a ＜﹣b ，正确； C 、a ＞b ，得，错误；D 、当c 为负数和0时不成立，故本选项错误，故选B. 二、填空题7. 【答案】x ≤4；8. 【答案】(1)＜， (2)＞；【解析】（1）两边同乘以2c （20c ≠）；（2）两边同除以(0)m m <. 9. 【答案】＞8；【解析】由已知可得：x ＝4，y ＝2x-m ＝8-m ＜0，所以m ＞8. 10．【答案】35a >-. 11.【答案】①④⑤【解析】解：∵﹣a ＞b ＞0，∴a ＜0，b ＞0，∴ab ＜0，①正确； ∵ab ＞0，∴a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，②错误；∵a ＞b ，c≠0，∴c ＞0时，ac ＞bc ；c ＜0时，ac ＜bc ；③错误； ∵a ＞b ，c≠0，∴c 2＞0，∴ac 2＞bc 2，④正确；∵a ＞b ，c≠0，∴﹣a ＜﹣b ，∴﹣a ﹣c ＜﹣b ﹣c ，⑤正确． 综上，可得正确的序号为：①④⑤． 12.【答案】9≤m ＜12； 【解析】3x-m ≤0，x ≤3m ，3≤3m＜4，∴ 9≤m ＜12. 三、解答题13.【解析】解：(1)16×6+(31-16-3)x ＞198; (2)3(x+1)+6(y+1)＞m+1. 14.【解析】 解：a ＞b ，当c ＞0时，ac ＞bc ， 当c=0时，ac=bc ， 当c ＜0时，ac ＜bc ． 15.【解析】解：(1)222232153240a b a b b b -+--+-=--<． ∴ 222321532a b a b b -+<+-+．(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b ＝2b ，当b ＞0时，a+b-(a-b)＝2b ＞0，a+b ＞a-b ；当b ＝0时，a+b-(a-b)＝2b ＝0，a+b=a-b ； 当b ＜0时，a+b-(a-b)＝2b ＜0，a+b ＜a-b ．(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a ＞b 时，3a+2b ＞2a+3b ；当a ＝b 时，3a+2b ＝2a+3b ； 当a ＜b ，3a+2b ＜2a+3b ．。