初一数学培优讲义—不等式（答案）
一、例题选讲
4
x m8 x 1
例 1、已知关于x 的方程：37，当m为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m的最大值。
4
x m 1，可得 m 4 x 1
解：原方程化简整理得：2121
4 x
因为 m为负整数，所以21必为小于-1的负整数
4
x1， x
21，即x 5 1
所以214 4
4
x
而要使 21为负整数，x必是21的倍数，所以x 的最大值为 -21
因为当 x 取最大值时， m也取得最大值，所以m的最大值为 -3
4
x
例 2、已知 m、n 为实数，若不等式 (2m-n) x+3m-4n<0 的解集为9 ，
求不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解。
解：由 (2m-n) x+3m-4n<0 得： (2m-n) x<4n-3m ，
2m n 0 (1)
x 4 4n 3m 4
(2) 9 ，所以有2m n 9
因为它的解集为
n 7 m
由(2) 得8 代入(1) 得 m<0
n 7 m 5m x 5m
把8 代入(m-4n) x+2m-3n>0 得 2 8
1 1
x x ∵ m<0 ∴ 4 所以，不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解集为 4
例 3、解不等式： (1) (2x+1)2-7<(x+m)2+3x (x-1)
(2) x 4 2x 3 1
解： (1) 原不等式可化为： (7-2m) x<m 2 +6
7 m 2 6
∴当 m<2 即 7-2m>0 时，解为 x< 7 2m
7 m 2 6
当 m>2 即 7-2m<0 时，解为 x> 7 2m
7 18
1
当 m=2 即 7-2m=0， m2+6=4 时，解为一切实数。
（ 2）
x 4 与 2x 3的零点分别是 4和
3
，由零点分段法，可把
x的取值范
围
2
分为三段： x 3 ; 3 x 4; x 4
2 2
3
当 x 2 时，原不等式可化为-x+4+2x-3 ≤ 1，解得 x ≤0
3 4 根据劳力和原材料的限制，x 和 y 应满足
x
当 2 时，原不等式可化为 -x+4-2x+3 ≤ 1，解得 x≥2
所以，原不等式的解为2≤ x≤ 4 化简为
当 x>4 时，原不等式可化为 x-4-2x+3 ≤ 1，解得 x≥ -2 所以，原不等式的解为x>4
综上所述，原不等式的解集为x ≤ 0 或 x ≥2 及
例 4、先阅读下面的例题, 再解答问题 : 当总售价时，由（ *）得
解不等式 (3x-2)(2x+1)>0.
解: 由有理数的乘法法则“两数相乘, 同号得正”
得
可得①或②
得，即
解不等式组① , 得 x> ; 解不等式组② , 得 x<- , 所以 (3x-2)(2x+1)>0 的解集是 x> 或 x<- .
根据上面的方法 , 解不等式<0.
得
解: 根据题意可列出不等式组①或②
解不等式组① , 得不等式组无解 ; 解不等式组② , 得 - <x<- .
得，即所以不等式<0 的解集是 - <x<- .
综合（ A）、（ B）可得，代入 (3) 求得
例 5、一玩具工厂用于生产的全部劳力为450 个工时，原料为 400 个单位。
生产一个小熊要使用15 个工时、 20
个单位的原料，售价为 80 元；生产一个小猫要使用 10 个工时、 5 个单位的原料，售价为45 元。
在劳力和
当时，有满足工时和原料的约束条件，此时恰有原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高。
请用你所学过的数
2200 元总售价（元）
学知识分析，总售价是否可能达到
答：只需安排生产小熊14 个、小猫24 个，就可达到总售价为2200 元。
解：设小熊和小猫的个数分别为x 和 y，总售价为 z，则（ * ）
例 6、（选讲）某中学原有教室若干个，每个教室有相等数量的课桌，总课桌数为
539 个。
今年学校新盖教学楼
增加教室 9 个，全校课桌数增至 1080 个，此时每个教室的课桌数仍然相等， 且每个教室的课桌数都比以
前增多，问现在有教室多少个
解: 设现有教室 x 个，则原有教室（ x-9 ）个，则
1080
与
539
均为自然数，且
1080 ﹥ 539
，由此得 x
x
x 9
x
x 9
为不被 3 整除的大于 9 的偶数因 1080= 23
3
3
5 ，故 x=10， 20， 40. 检验只有 x=20 满足条件。
二、 练习
1、如果 2 、 、1－
m 这三个数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么
的取值范围 （
）c
m m
m
A ．m ＞ 0
B ．m ＞ 1
C
．m ＜ 0
D
． 0＜m ＜ 1
2
2
2、关于 x 的不等式 3x-a ≤0, 只有两个正整数解 , 则 a 的取值范围是 6≤a<9 .
解: 解不等式 3x-a ≤ 0 得 x ≤ . ∵只有两个正整数解 ,
∴ 2≤ <3. ∴ 6≤ a<9.
3、已知关于 x 的不等式 x － 2a ＜ 3 的最大整数解－ 5，则 a 的取值范围 _________．
解： x-2a<3
x<3+2a
由题意可得
在 x<3+2a 这个范围中， x 的最大整数解为 -5
-
5≤3+2a< -4 ∴ - 8≤2a< -7
-
4≤a< -7/2 注意两个 临界点 ，一含一不含。
x a 0
1
4、若不等式组 {3
2x
5 个，则
a 的取值范围是
（
）D
的整数解有
A. a3
B.
a 4
C.
a 3
D.
4 a 3
5 、不等式组 a
1 x a 2
x a 2 ，则 a 的取值范围是（
） D
3
x
5 的解集是 3
Ａ、 a
1 Ｂ、 a 3 Ｃ、 a
1或 a
3 Ｄ、 1 a 3
6. 光源灯具厂工人的工作时间是：每月
25 天，每天 8 小时。
待遇是：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工
资 100 元，按月结算。
该厂生产
A 、
B 两种产品，工人每生产一件 A 产品，可得报酬元，每生产一件 B 产品，可
得报酬元，下表记录了工人小明的工作情况：
生产 A 种产品件数
生产 B 种产品件数
总时间（分钟）
1 1 35 3
2
85
根据上表提供的信息，请回答下列问题：
（ 1）小明每生产一件 A 种产品，每生产一件 B 种产品，分别需要多少分钟
（ 2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小明每月的工资数目在什么范围之内
解 . （ 1）设小明每生产 1 件 A 种产品，每生产 1 件 B 种产品分别需要 a 分钟和 b 分钟，则
a+b=35
3a+2b=85
a=15
解得：
b=20
（ 2）设小明每月生产
x 件 A 种产品， y 件 B 种产品（ x 、 y 均为非负整数），月工资数目为 S 元，则 15x+20y=25 ×8× 60
S=++100
X
≥ 0， y ≥ 0
y=
即S=+940
≤ x ≤ 800
在 S=+940 中
∵＜ 0，且 0≤ x ≤800
∴当 x=0 时， S 最大值 =940（元）
当 x=800 时， S 最小值 =×800+940=700（元）
∵生产各种产品的数目没有限制。
∴700≤ S≤940
∴小明每月的工资数目不低于 700 元，而不高于940 元。
7、某“希望小学”为加强信息技术课教学, 拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房, 每个机房只配置
台教师用机 , 若干台学生用机. 现有厂方提供的产品介绍单一份, 如表 :
型号CZXM CZXN
初级单价 ( 元)100004375
高级单价 ( 元)143758750
1 已知教师配置CZXM系列机型 , 学生配置 CZXN系列机型 , 所有机型均按八折优惠购买. 两个机房购买计算机的钱数
相等 , 并且每个机房购买计算机的钱数不少于20 万元也不超过机
解: 设初、高级机房各能配置学生用机x 台、 y 台 , 则根据题意
21 万元 . 拟建的两个机房各能配置多少台学生用, 得
即
因为 x、y 均为正整数 , 所以 x=55,y=27 或 x=57,y=28.
所以拟建的两个机房( 初级、高级 ) 分别能配置55 台、 27 台学生用机或57 台、 28 台学生用机 .。