第一章 行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）1347265；（2）321)1( n n 。
【解】（1）62130000)1347265( ，偶排列；（2）2)1()1(210]321)1([ n n n n n 。
当14,4 k k n 时，2),14(22)1( k k k n n 当34,24 k k n 时，4)(12(2)1( k n n 排列。
■2、用行列式定义计算xx x x x f 111231112)(中4x 和3x 的系数，并说明理由。
含4x 2；含有3x （4，4）的元素乘积项，而10 ，故3x 的系数为1 36116120311022516113110612022516011301160212152323112241324r r c c r r r r r r D933003110225123242r r r r 。
■4、求84443633224211124D 。
【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：211112111121111224844436332242111243212432434r r r r r r r D 120100001000010111112014,3,2 r r k k 。
■5、求x x x D n111mD n n c c c nn(21mm m x ni i c x c nk k k101001)(1,,3,2111))(( n ni i m m x 。
■6、求nn a a a D01001011110211 ，其中021 n a a a 。
【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
为此，第一列减去第k 列的ka 1（n k ,,3,2 ）可得： n n i i nni i n a a a a a a a a D2112111)1(0000000001111。
■ 7、求7111141111311112D 。
【解】降阶法。
313151017111141111310021711114111131111212212c c r r D3140 8、求43210000b b a a D【解】法1))((323241413322b b a a b b a a a b b a 法2（降阶法）按第一行展开可得：0)1(00043322411433221b a b b a b a a b b a a D ， 再各按最后一行展开可得：33224141)(a b b a b b a a D ))((32324141b b a a b b a a 。
注：不能简单地应用“对角线法则”得出错误结论：43214321b b b b a a a a D 。
■9、证明n n n n n n n a x a x a x a a a a a x xxD12211121111。
【证】观察：相邻阶行列式具有“相似性”，为此，按第一列展开可得相邻阶行列式间的递推关系。
数学归纳法：（i ）211221a x a a a x D，2 n 成立；（ii ）假设1 n 成立，则由nn n c n xxa xD D 1111)1(1可知：n 也成立，故得证。
■ 10、已知43334321，求322212A A A 4,3,2,1 i ）。
2212A A A 323232444133312221111112)34)(24)(23)(14)(13)(12( 。
■ 11、解方程组 ,,,322132213221d x c cx x d x b bx x d x a ax x 其中c b a ,,互异。
【解】∵c b a ,,互异，∴系数行列式0))()((111222b c a c a b c cb b a a D ，,2221D d c c db b da a d D 01112222 c db d a d D ，01113 dc d b d a D 。
于是，由克莱姆法则可知：原方程组有唯一解，且解为,0,2211D D x d D D x 12、当 取何值时，齐刺线性方程组321321321x x x x x x x x x 有非零解。
故1,2 。
■1、设 2321A（1）232A AB ；（2）TAB ；（3）|2|A 。
【解】（1）]156912363034100062642[523412101)32(322A B A A AB10638323811262081011491238941523412101。
（2）T AB209813112212203532011523412101。
（3）80)10(82236120185234121018||)2(|2|133c c A A 。
■2、设B A ,都是n 阶对称阵，证明：AB 为对称阵的充要条件是B A ,可交换，即BA AB 。
【证】∵B A ,都是n 阶对称阵,∴B B A A TT,.必要性 ∵AB 为对称阵，即BA A B AB AB TTT)(，∴BA AB 。
充分性 ∵BA AB ，∴TT T AB A B BA AB )( ，即AB 为对称阵。
■ 3、设A 为3阶方阵，31||A ，求|3)4(|*1A A 。
【解】由逆阵、伴随阵性质与关系可得||1)43(|43||)141(||||341||3)4(|31111*1A A A A A A A A 6481 。
■ 4、设000010A ，求nA 。
【解】法1（归纳法）∵2222000020000010000010 A ，332322230003000020000010 A ，……， ∴nAn nn nn 00001。
法2（分解法）∵B E A000000100，而),2( k O B k∴ nn B E A )( B E n E n n 1)()(n nn n n 00001。
■ 5、求下列矩阵的逆矩阵：（1） 111211120A ；（2）n a a a B 21（021 n a a a ）。
【解】（1）法1（伴随法）∵211110120111211120||32r rA 0 ，∴A 可逆。
∵2,1,5,2,1,3,0,1,1333231232221131211 A A A A A A A A A ，∴220111531211A 。
法2（初等变换法）此略。
（2）法1（伴随法）∵0||21 n a a a B ,∴B 可逆。
∵12131223211,,, n nn n n a a a A a a a A a a a A ，),,2,1,,n j i j ，n nn nn n n a a a A A AA A A A A A 11121212221212111。
法2（初等变换法）此略。
法3（分块对角阵逆阵）多次应用111B A B A ，此略。
■ 6、设A 为n 阶可逆阵，试证A 的伴随阵*A 也可逆，并求1*)( A 。
【证】定义法。
∵E A AA ||*，即E A A A *||，∴*A 可逆，且1*)( A ||A A 。
■ 7、设n 阶矩阵A 满足O E A A 322，证明:A 及E A 4 均可逆，并求它们的逆。
【证】定义法。
∵O E A A 322，∴①E E A A 3)2( ，故A 可逆，且②A A E A E A 82)2)(4(2)4(1E A 8、设矩阵B A ,满足A B AB 2，且 A 【解】抽象矩阵+∵B AB 2111122112)21E ，∴3222342254012(A B 。
11110001111000110110010023r r111211r r ，111122112)2(1E A 。
■ 9、设*A 是矩阵A 的伴随阵，矩阵X 满足X A X A 21*，求矩阵X ，其中111111111A 。
【解】∵X A X A 21* ，420020111111111111||1223 r r r r A ，E E A AA 4||* ， ∴左乘A 可得AX AA X AA 21* ，即AX E X 24 ， E X A E )24(。
于是，11)2(21)]2(2[A E A E X 。
1111111112A E，111|2| A E 20222002241)2(1A E ，故10141X 10、设1100210000120025A ，求1A及||4A 。
【解】设1121,1225C B ，则3/13/13/23/1,522111C B ， 由分块对角阵逆阵公式可得：1A111C B C B3/13/1003/23/10000520021。
81)31(|)||(|||||4444C B A A 。
■――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1、求下列矩阵的秩：（1）10030116030242201211A ；（2）71534321101111a b B 。
【解】初等变换法。
（1）∵1003014030000000121110030116030242201211121323r r r r A000000400014030012110400014030000000121134r r （行阶梯形），∴3)( A r 。
（2）∵b a b a b a a b a b B r r r r r r r r r 21002100110111121022101101111715343211011111324133142)2(20002100110111134b b a b r r ，∴.2,1,4,2,12,1,3,2,1,2)(b a b a or b a b a B r ■2、已知矩阵a a a a A 111111111111的秩为3，求a 的值。
【解】行列式法。
∵3)1)(3(|| a a A ， ∴当1,3 a 时，4)( A r ； 当1 a 时，1)( A r ；当3 a 时，注意0|| A ，0)1)(2(111111211 a a aa a A ，故3)( A r 。
■3、设A 为3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得到B ，再把B 的第2列加到第3列得到C ，求满足C AQ 的可逆阵Q 。
【解】∵)1(3212E AE C ,∴11000001)1(123212E E E Q 4、解方程组：（1） ;032,03,0432143214321x x x x x x x x x x x x （2）111x x x 【解】（16300420011113211311111111223r r rr A000021001011000021001111212322//r r r kr r ，n A r 42)(， 故原方程组有非零解，其通解为 ,,2,,444322421x x x x x x x x x 即),(120100112121R c c c c x。