第十二章期末复习题一、实际操作题1.如图，∠AOB是一个任意角，小聪在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，他说过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，请你判断小聪的说法正确吗？并说明理由.1题图 2题图 3题图2.如图，将两根钢条如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )3.如图，已知，BD与CE相交于点O，AD=AE，∠B=∠C，请解答下列问题：（1）△ABD与△ACE全等吗？为什么？（2）BO与CO相等吗？为什么二、截长补短+半角模型1.（只能补短）如图，在正方形ABCD中，E是边CD上任意一点，以AE为一边作∠EAF=45°，射线AF交BC于F点，连接EF，求证：EF=DE+BF1题图 2题图 3题图2.（只能补短）已知四边形ABCD中，∠ B+∠ D=180°，AB=AD, E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD=EF．∠BAD．求证：∠EAF=123.如图，已知△ABC中，AB=AC,∠ A=100°,BE平分∠ABC，求证：BC=BD+AD．（2）若∠ A=108°,则BC的长等于哪两条线段长的和呢？试说明理由。
4.在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ ABC=2∠ C，求证：AB+BD=ACAB D C5. 在△ABC中,∠B AC=120°, AD⊥BC于D，且AB+BD=DC,则∠C=( )°.6.已知AD//BC,点E为CD上一点，AE,BE分别平分∠DAB,∠CB A，BE交AD的延长线于点F，求证：（1）△ABE≌△AFE (2)AD+BC=AB7.在△ABC中,∠BAC=60°,BD,CE分别平分∠AB,∠A CB，BD,CE交于点O，试判断BE,CD,BC的数量关系，并加以证明。
三、倍长中线1.如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是（）2.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．已知AC=5，AD=4，则AB的取值范围是．（）1题图 (2题图) 3题图 4题图3.（见等腰三角形作平行线）：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF. 求证：BD=CE(提示：方法1：过D作D G∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔC EF方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H，证明ΔBDG≌ΔECH)4、（含中垂线）如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小5.（含等腰三角形）已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且B E=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF(提示：方法1：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。
方法2：倍长ED.)5 题图6 题图7 题图6.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD．7.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM四、一线三垂（一线三等角）1、在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．1题图 2题图2.如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC 为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM 的长为．3.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），已知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（-4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连结CD交y轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度.4.在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，AC＝BC, ∠ABC=45°,点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．4题图 5题图5.在△ABC中，AB=AC=2, ∠B=∠C=40°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BAD=20°时，∠EDC=（）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由五、角平分线模型1.如图，已知，DA=DC，BA=BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：DM=DN2.如图，∠B=∠C=90°,M是BC的中点，DM平分∠ADC（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何，并证明你的结论（3）证明：AB+CD=AD2题图 3题图 5题图 4题图3.如图，AB∥CD，BE平分ABC，点E为AD中点，且BC =AB+ CD，求证：CE平分BCD.4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC,垂足为E，BF//AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF。
给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF.其中正确的结论共有（）个5.（角平分线+终端垂直）如图，在△ABC中，AC=BC, C=90°,BD为ABC的平分线，若A点到直线BD的距离为a，则BE的长为6.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为6题图 7题图 8题图7.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC．求证：∠BAD+∠C=180°8.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于9.如图，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB．9题图10.如图，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C，D，CE=DF，若PE=PF.求证：OP平分∠AOB。
C AE POD F B11.在△ABC中，AD是它的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比等于（）12.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE,BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为2．12题图 13题图13.点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）14. （角平分线+终端垂直）等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于F．（1）如图1，连CF，求证：∠ABE=∠ACF；（2）如图2，当∠ABC=60゜时，求证：AF+EF=FB；（3）如图3，当∠ABC=45゜时，若BD平分∠ABC，求证：BD=2EF．六、中垂线模型1.如图，在△ABC中，AB=BC，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，若BC=10，AC=6cm，则△ACE的周长是 cm．1题图 2题图 3题图2.如图，在△ABC中，BC=8,AB的垂直平分线DH交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）3.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，DF,EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于______度．若∠BAC=a°，则∠DAE等于______度。
（含a的式子表示）4题图 5题图4.(中垂线+角平分线模型)如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数5.(中垂线+角平分线模型).如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，（1）D点到B、C两点的距离相等吗？为什么？（2）D点到∠BAC两边的距离相等吗？为什么？（3）探求BG和CH之间的大小关系，并证明你的结论．（4）探究AG、AB、AC之间的关系，并证明你的结论。
6.（角平分线+中垂线）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM=CN；（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．6题图 7题图 8题图7.（含中垂线）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，DF⊥DE交AC于点F，延长ED至点G，使GD＝ED，连接CG.（1）求证：BE＝CG；（2）求证：BE＋CF＞EF.8.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线交AC于点E，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠BAD=∠C+∠DAC全等的经典模型：1.手拉手模型1.已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）2.如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．1题图 2题图3.如图一，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以Cm、MQ为边做等边△MPF和等边△PQE，连接EF．（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；（2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，（1）的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？4.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到的三角形为，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．动点多解题1. 如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC=______cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC 上以1cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与P点相同，经过3s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q的运动速度与P点不相同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？11。