向量与解析几何结合解答题精选平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。

或者考虑向量运算的 几何意义，利用其几何意义解决有关问题。

1.已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1＋||2MF ＝10。

（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上任意两点，且·=0，求222OQOP •的值【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：122=+y x （2）∵点P 、O 是1162522=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵OP ·OQ =0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①而2、22•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：222•＝400412.已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。

（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM ·AN 为定值；（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。

【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C ：1)3()2(22=-+-y x ，得：07)1(4)1(22=++-+x k x k ①由题意：△＝07)1(4)]1(4[2>⨯+⨯-+-k k 得：374374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d<R 来解）（2）利用切割线定理可以证明|AM |·|AN |＝|AT |2=7,AT 为切线，T 为切点。

根据向量的运算：AM ·AN ＝||·|AN |·cos00＝7为定值。

（注意：本题也可以设出M （11,y x ）、N （22,y x ）的坐标，把AM 、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明）（3）设M （11,y x ），N （22,y x ），则由①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+22122117144k x x k k x x ∴OM ·ON ＝21x x ＋21y y ＝1)()1(21212++++x x k x x k ＝81)1(42+++kk k ＝12⇒k ＝1（代入①检验符合题意） 3.已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足OF =(1,0),OT =(－1，t)，FM =MT , P 1⊥,P 1∥OF 。

（1）当t 变化时，求点P 1的轨迹方程； （2）若P 2是轨迹上不同与P 1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1=λ·2FP ||1FP ||2FP =1【解】设P 1（x ，y ），则由：FM =得M 是线段FT 的中点，得M )21,0( ∴P 1＝（－x ，21－y ）， 又∵FT ＝OT －OF ＝（－2，t ），T P 1＝（－1－x ，t －y ） ∵M P 1⊥FT ∴2x ＋t(2t－y)＝0 ① ∵P 1∥OF ∴（－1－x ）·0＋（t －y ）·1＝0化简得：t ＝y ② 由①、②得：x y 42= （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。

） （2）易知F （1，0）是抛物线x y 42=的焦点，由1FP =λ·2FP ， 得F 、P 1、P 2三点共线，即直线P 1P 2为过焦点F 的弦设P 1（11,y x ）、P 2（22,y x ）,直线P 1P 2的方程为：y ＝k(x －1)代入x y 42=得：0)2(22222=++-k x k x k 则1x ·2x ＝1，1x ＋2x ＝2242k k +∴||1FP ||2FP 111+x ＋112+x ＝1)(2212121+++++x x x x x x ＝1（注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。

）经检验：当斜率k 不存在时，结论也成立。

4..已知＝)1,3(，（O 为坐标原点），||=1，且与的夹角为600，A 、O 、B 顺时针排列，点E 、F 满足=λ，＝λ1，点G 满足＝21（1）当λ变化时，求点G 的轨迹方程； （2）求||的最小值。

【解】∵＝21，∴点G 是EF 的中点， ∴＝21(＋OF )＝21(λ＋λ1)∵与的夹角为600，||＝2， ∴OA ·OB ＝|OA |·||OB ·cos600＝1设＝（00,y x ），则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+113202000y x y x ⎩⎨⎧==⇒1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==212300y x （不合，舍） OG ＝)]1,0(),3[(21λλλ+＝))1(21,23(λλλ+设G （x ，y ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==)1(2123λλλy x 消去λ得：033442=+-xy x（2）2||OG ＝)214(412222++=+λλy x ≥41×（4＋2）＝23 ∴||OG 的最小值为26（当λ＝21±时等号成立） 5.如图，点F （a ，0）（a>0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且·＝0，PM ＋=（1）求点N 的轨迹C ； （2）过点F （a ，0）的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点K （－a ，0），与的夹角为θ，求证0<θ<2π. 【解】（1）设点P （0，p ），M （m,0），则＝（m ，－p ），＝（a ，－p ）∵·＝0 ∴02=+p am ∴ap m 2-=设N （x ，y ），由PM ＋0=PN 得0),(),0(=-+--p m p y x∴⎩⎨⎧=-=+020p y m x 即⎪⎩⎪⎨⎧==py a p x 22消去p 得：ax y 42= （2）设AB 的方程为：y ＝k(x －a)，代入20)2(222222=++-a k x k a x k ，设A （11,y x ）、B （22,y x ），则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2212221)2(2a x x k k a x x KA ＝（1x ＋a ，1y ）KB ＝（2x ＋a ，2y ） ·＝2121))((y y a x a x +++＝)4()(122121ax a x x a x x -++++·（24ax ）＝222222244)2(2ka a a k k a a a =-+++>0 与的夹角为θ，与不共线，则θ≠0∵cos ||||KB KA •>0 ∴0<θ<2π6.设平面内向量＝（x ，0）、＝（1，y ），满足：(＋3)⊥(－3)（1）求点P （x ，y ）的轨迹方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m （km ≠0）与所求曲线C 交于A 、B 两点，D （0，－1）且||AD ＝||BD ,求m 的取值范围。

【解】（1）∵(＋3)⊥(－3) ∴(＋3)·(－3)＝0∴2a －32b ＝0 ∴0)1(322=+-y x即1322=-y x 为所求曲线的轨迹方程。

（2）设A （11,y x ）、B （22,y x ），由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 得：0)1(36)31(222=+---m kmx x k ①则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-=+222122131)1(3316k m x x k km x x ② ∵)1,(11y x AD ---=，)1,(22y x BD ---= ∵||AD ＝||BD ∴2121)1(y x ++＝2222)1(y x ++即：0))(2())((21212121=-+++-+y y y y x x x x∴0)2(2121=++++++m kx m kx k x x 把②代入，解得m ＝4132-k ③由①得：△＝)1)(31(12362222+-+m k m k ＝12(2231k m -+)>0 把③代入化简得：m m 42->0 m>4或m<0又∵m ＝4132-k 41-> （k ≠0）∴0>m 41->或m>4为所求的m 的取值范围。

7.已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在直线PQ 上，且·PM ＝0，PM ＝－23MQ （1）当P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹方程； （2）过点T （－1，0）作直线l 交轨迹C 与A 、B 两点，若在x 轴上垂直一点E )0,(0x ，使||AE ＝||AB ,且与的夹角为600，求0x 的值 【解】设M （x ，y ），由PM ＝－23得P （2,0y -）、Q （0,3x） 由HP ·PM ＝0得：x y 42= ∵点Q 在x 轴正半轴上，∴x>0即所求的轨迹方程为：x y 42=（x>0）（抛物线去掉顶点） （2）设直线l ：y ＝k(x ＋1)（k ≠0），代入x y 42=得：0)2(22222=+-+k x k x k 设A （11,y x ）、B （22,y x ），则⎪⎩⎪⎨⎧=--=+142212221x x k k x x ① ∴线段AB 的中点坐标为（k k k 2,222-） 线段AB 的垂直平分线方程为：k k y 12-=-(x －222kk -) ② 在②中，令y ＝0，得1220+=kx ③ (与x 轴的交点) ∵||＝||,且与的夹角为600，∴△ABE 为等边三角形∴点E 到直线AB 的距离为23|AB| 而|AB|=222114k k k +•- ∴||12)1(32224k k k k +=- 解得：432=k 代入③ 从而3110=x 8.在坐标平面内，设O 是坐标原点，1OF ＝)0,3(-，2OF ＝)0,3(，点A 满足1AF ＋2AF ＝（－4，－2），点集S ＝{P|P 为平面内的点且满足条件：|PF 1|－|PF 2|=2} （1）求点A 的坐标；（2）若P 1、P 2∈S ，且1∥21P P ，又点Q 满足P 1＝－21·12P ,求点Q 的轨迹方程。