向量在解析几何中的应用作者：嵩明县第一中学：吴学伟解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。

近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识（1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ= （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos ||||a ba b θ=（3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线⇔存在惟一的R λ∈，使b a λ=。

（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行⇔12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ⇔=⇔12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥（7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b =1212x x y y + 二、向量的应用1、利用向量证明等式材料一：已知α、β是任意角，求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+。

证明：在单位圆上，以x 轴为始边作角α，终边交单位圆于A ，以x 轴为始边作角β，终边交单位圆于B ，有(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==，所以有：cos cos sin sin OA OB αβαβ=+又||||cos cos()OA OB OA OB AOB αβ=∠=- 即cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos()αβ-或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。

2、利用向量证明不等式材料二：,,,,,m n a b c d b d ncm n≤+ 证明：设(,),(,)b d h ma nc k m n== ∴||,||b d h ma nc k m n=+=+由数量积的坐标运算可得：h k ab =+又因为||||||h k h k ≤，b dm n≤+成立。

点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：a b =1212x x y y +，||||||a b a b ≥，构造向量解之。

3、利用向量求值材料三：已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ。

解析：由条件得3(1cos )cos sin sin cos 2βααββ-+=- 设(1cos ,sin )m ββ=-，(cos ,sin )n αα=，则3cos 2m n β=-，||(1m =-=||1n =， 由||||m n m n ≤，得3cos 2β-≤，即21(cos )02β-≤，则1cos 2β=，即3πβ=，同理3πα=（因为α、β为锐角）点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。

变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为(3,0)A 、(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3(,)22ππα∈。

（１）、若||||AC BC =，求角α的值；（２）、若1AC BC =-，求22sin sin 21tan ααα++的值。

解析：（１）(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BCαα=- ∴||(cos AC == ||cosBC α=+=由||||AC BC =得sin cos αα=，又3(,)22ππα∈，∴54πα=（２）、由1AC BC =-得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-∴2sin cos 3αα+=……………………………………（１）又22sin sin 21tan ααα++=22sin 2sin cos 2sin cos sin 1cos ααααααα+=+由（１）式两边平方得412sin cos 9αα+=∴52sin cos 9αα=-，∴22sin sin 21tan ααα+=+59- 4、利用向量求函数值域 15y ++-=，求x y +的最小值。

解析：构造向量(m x =+，(1,1)n = 由||||m n m n ≤2)2≥，∴272x y +≥=时，x y +有最小值272变式：设x的最小值。

解析：2222(1)x x x -=-=故可设(1,1)a x =-，(5,3)b x =-∴||42a b +=，=||||42a b +≥ 当1153x x -=-，即2x =时等号成立。

所以当2x=时,点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。

5、利用向量解决析几何问题材料六：过点(2,0)M -，作直线l 交双曲线221x y -=于A 、B 不同两点，已知OP OA OB =+。

（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2）、是否存在这样的直线，使||||?OP AB =若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

解析：（1）、设直线l 的方程为(2)y k x =+，代入221x y -=得2222(1)4410k x k x k ----=，当1k ≠±时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212241k x x k +=-，2122411k x x k +=-212122244(2)(2)411k k ky y k x k x k k k+=+++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+，则212122244(,)(,)(,)11k kx y x x y y k k =++=--∴224141k x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，解之得x k y = (0)k ≠ 再将x k y =代入241k y k =-得22(2)4x y +-=……………………（1） 当0k =时，满足（1）式；当斜率不存在是，易知(4,0)P -满足（1）式，故所求轨迹方程为22(2)4x y +-=，其轨迹为双曲线；当1k =±时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）||||OP AB =，所以平行四边形OAPB 为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是0OA OB =，即12120x x y y +=。

当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(-，(2,-，不满足上式。

又212121212(2)()x x y y x x k x x +=+++2222222(1)(41)244011k k k k k k k ++=-+=-- 化简得：22101k k +=-，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。

点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

变式：已知双曲线Ｃ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x 轴正半轴上，且满足||OA 、||OB 、||OF 成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线l ，垂足为Ｐ，如图所示。

（１） 求证：PA OP PA FP =；（２） 若l 与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率e 的范围。

解析：（１）直线l 的方程为：()a y x c c =--，由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2(,)a ab Pc c||OA 、||OB 、||OF 成等比数列，∴2(,0)a A c，故PA x ⊥轴，如图所示。

从而0PA OP PA FP PA OF -== ∴PA OP PA FP =(2)、由222222()a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩∴得4222222()a b x x c a b b --=， 即4442222222()()0a a a b x cx x c b b b-+--=4222212422()0a c a b b x x a b b-+=<-，∴44b a >，即22b a >，222c a a ->⇒22e e >⇒> 点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。

随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=，要会求出直线的斜率； （2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;（3）给出0=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6） 给出λλ++=1OBOA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=（7） 给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m MB MA ,等于已知AMB∠是锐角。

（8）给出MP =⎪⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形; （11）在ABC ∆中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ∆中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在ABC ∆中，给出+=OA OP()||||AB ACAB AC λ+)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的内心；（15）在ABC ∆中，给出,0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线。