当前位置:
文档之家› 1.3.3正弦定理余弦定理应用举例(3课时)
1.3.3正弦定理余弦定理应用举例(3课时)
点,测得 BCA= 60, ACD=30,CDB= 45, BDA= 60 求A、B两点间距离 .
不可到达点 A
?
B
60 45
60 30
可到达点 D 40m C
解:CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中,应用
三角形边与角的关系:
cos B c2 a2 b2 , 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
1、A B C 180
2、 大角对大边,小角对小边 。
余弦定理的应用条件:
(1)已知三边,求三个角;或者已知三边的比例,求 三个角 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两角; (3)已知两边及对角,求第三边和其它两角
4
44
得A+ ,故A= .
42
4
【例8】在 ABC中,已知AC=3,sinA+cosA= 2.
正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用
【例8】在 ABC中,已知AC=3,sinA+cosA= 2.
1 求sinA的值; 2若 ABC的面积S=3,求BC的值.
【解析】1由sinA+cosA= 2sin(A+ )= 2,
4
得sin( A+ )=1.
4
由此及0 A ,即 A+ 5 ,
[解] 如图8所示,在△ABC中,∠A=45°,∠ABC=
90°+30°=120°,∴∠ACB=180°-45°-120°=15°,AB=
30×0.5=15(n
mile).由正弦定理,得
AC sin∠ABC
=
sin∠ABACB,
∴AC=
AB·sin∠ABC sin∠ACB
=
15×sinsi1n51°20°=
即 30 = AC ,所以AC=30sin 30 .
sin15 sin 30
sin15
则点A到直线BC的距离
d=AC·sin 45=30sin 30 sin 45 40.8. sin15
由于40.8 38,故
此船不改变航向也无触礁的危险.
30 2
•
[例6] 在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD= 31 且AD=
【解析】如图,设A、C分别表示 缉私艇、走私船的位置,设经过 x小时后在B处追上. 则有 AB=14x,BC=10x,ACB=120.
所以14x2=122+10x2-240x cos120,
所以x=2,
则AB=28,BC=20,sin=20sin120=5 3 .
28
14
所以追及所需的时间为2小时,sin = 5
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
B
75o C 51o 55m A
例1:如图,在河岸边有一点A,河对岸有一点B,要 测量A,B两点的距离,先在岸边取基线AC,测得 AC=120 m,∠BAC=45°,∠BCA=75°,求A, B两点间的距离.
不可到达点 A
?
B
60 45
60 30
可到达点 D
C
这样在⊿ABC中,∠BCA=60°, AC 20( 3 1), BC 40. 由余弦定理得: AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
202( 3 1)2 402 2 20( 3 1) 40 cos 60 20 6. 答:A,B两点间的距离为 20 6米.
(20 2 )2 (40 2 )2 2 20 2 40 2 cos 60 20 6. 答:A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向.若货 轮的速度为30 n mile/h,当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时,求A,D两处的距离.
1.3.3 应用举例
解斜三角形公式、定理
正弦定理:a b c 2R sin A sin B sinC
余弦定理:
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 , 2bc
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
不可到达点 A
?
B
60 45
60 30
可到达点 D 40m C
解:CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中,应用
正弦定理得
40 sin 30
40 sin 30
AD
s in[180
(30
=202+(10 2)2-2 20 10 2 2 2
=200,所以B1B2=10 2.
因此,乙船的速度为10 2 60=30 2(海里 / 小时). 20
答:乙船每小时航行30 2海里 / 小时.
例4.如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54040',在塔底
C处测得A处的俯
3
2+ 2
6 ×15(n
mile). 在△ACD中,∵∠A=∠D=45°,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴AD= 2AC=15(3+ 3)(n mile).
∴A,D两处的距离是15(3+ 3) n mile.
【变式练习3】
如图,甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲 船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处,此时两船相距20海里.当 甲船航行20分钟到达A2处时,乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处,此时两船相距10 2海里.问乙 船每小时航行多少海里?
∴722+×x27-×x272=722+×27x×2-2x42. 如图 2 所示,∵AD 是 BC 边上的中线,
∴可设 CD=DB=x,
则 CB=a=2x. ∵c=4,b=7,AD=72,
解得 x=92. ∴a=2x=9.
• 迁移变式2
如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点, AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长.
。
三角形的面积公式
SABC
1 2
absin C
1 2
bcsin A
1 2
acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用: (1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
(1)当视线在水平线上方时,视线与水平线所成角叫 仰角。
解:在△ACD 中,由余弦定理,得
cosC=AC2+2ACCD·C2-D AD2=722+×372×-352=1114. ∵C 为三角形的内角,∴C∈(0,π), ∴sinC= 1-cos2C= 1-11142=5143. 在△ABC 中,由正弦定理,得sAinBC=sAinCB,
∴AB=ACsi·nsiBnC=7s×in45154°3=5 2 6.
答:山的高度约为150米。
【变式练习】
(2015·湖北高考)如图,一辆汽车在一条水平的公路上 向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西 偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=
__1_0_0___6___m.
45
60)]
sin 45
20
2,
BD 40 40 2 . sin 45
不可到达点 A
?
B
60 45
60 30
可到达点 D
C
这样在⊿ABD中,∠BDA=60°, AD 20 2 , BD 40 2 . 由余弦定理得: AB AD2 BD2 2 AD BD cos
【解析】在 ABC 中,
CAB 30 ,ACB 75 30 45 , 根据正弦定理知,
BC AB , sin BAC sin ACB
BC AB sin BAC 600 1 300 (2 m),
即
sin ACB
22
2
所以 CD BC tan DBC 300
BD,求△ABC的面积.
32
C
[解] 设 CD=x,则 AD=BD=5-x,
在△CAD 中,由余弦定理可知:
D
cos∠CAD=52-×x4×2+54-2-xx2=3321,解得 x=1.
A
B
在△CAD 中,由正弦定理可知:sAinDC=sin∠CDCAD,
∴sinC=CADD· 1-cos2∠CAD=4 1-33122=38 7.
正弦定理得
AC
40 sin(45 60) sin[180 (30 45
60)]
40 sin105 sin 45
20(
3 1),
BC
s in[180
40 sin 45 (60 30
45)]
40 sin 45 sin 45
40.
【解析】连结A1B2.依题意知
A1B1=20,A2 B2=10
2,A1
A2=
20 60
30
2=10
2.
易知B2 A2 A1=60,所以 A1A2B2是等边三角形,