点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D 40m C
解：CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用
三角形边与角的关系：
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
1、A B C 180
2、 大角对大边，小角对小边 。
余弦定理的应用条件：
（1）已知三边，求三个角；或者已知三边的比例，求 三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角； （3）已知两边及对角，求第三边和其它两角
4
44
得A＋ ，故A＝ .
42
4
【例8】在 ABC中，已知AC＝3，sinA＋cosA＝ 2.
正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用
【例8】在 ABC中，已知AC＝3，sinA＋cosA＝ 2.
1 求sinA的值； 2若 ABC的面积S＝3，求BC的值．
【解析】1由sinA＋cosA＝ 2sin(A＋ )＝ 2，
4
得sin( A＋ )＝1.
4
由此及0 A ，即 A＋ 5 ，
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝
90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝
30×0.5＝15(n
mile)．由正弦定理，得
AC sin∠ABC
＝
sin∠ABACB，
∴AC＝
AB·sin∠ABC sin∠ACB
＝
15×sinsi1n51°20°＝
即 30 ＝ AC ，所以AC＝30sin 30 .
sin15 sin 30
sin15
则点A到直线BC的距离
d＝AC·sin 45＝30sin 30 sin 45 40.8. sin15
由于40.8 38，故
此船不改变航向也无触礁的危险．
30 2
•
[例6] 在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝ 31 且AD＝
【解析】如图，设A、C分别表示 缉私艇、走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上． 则有 AB＝14x，BC＝10x，ACB＝120.
所以14x2＝122＋10x2－240x cos120，
所以x＝2，
则AB＝28，BC＝20，sin＝20sin120＝5 3 .
28
14
所以追及所需的时间为2小时，sin ＝ 5
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
B
75o C 51o 55m A
例1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要 测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得 AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A， B两点间的距离．
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D
C
这样在⊿ABC中,∠BCA=60°, AC 20( 3 1), BC 40. 由余弦定理得： AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
202( 3 1)2 402 2 20( 3 1) 40 cos 60 20 6. 答：A,B两点间的距离为 20 6米.
(20 2 )2 (40 2 )2 2 20 2 40 2 cos 60 20 6. 答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货 轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时，求A，D两处的距离．
1.3.3 应用举例
解斜三角形公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sin B sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D 40m C
解：CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用
正弦定理得
40 sin 30
40 sin 30
AD

s in[180

(30
＝202＋(10 2)2－2 20 10 2 2 2
＝200，所以B1B2＝10 2.
因此，乙船的速度为10 2 60＝30 2(海里 / 小时)． 20
答：乙船每小时航行30 2海里 / 小时．
例4.如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54040',在塔底
C处测得A处的俯
3
2＋ 2
6 ×15(n
mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)．
∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile.
【变式练习3】
如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲 船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处，此时两船相距20海里．当 甲船航行20分钟到达A2处时，乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙 船每小时航行多少海里？
∴722＋×x27－×x272＝722＋×27x×2－2x42. 如图 2 所示，∵AD 是 BC 边上的中线，
∴可设 CD＝DB＝x，
则 CB＝a＝2x. ∵c＝4，b＝7，AD＝72，
解得 x＝92. ∴a＝2x＝9.
• 迁移变式2
如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．
。
三角形的面积公式
SABC

1 2
absin C

1 2
bcsin A

1 2
acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用: (1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。
解：在△ACD 中，由余弦定理，得
cosC＝AC2＋2ACCD·C2－D AD2＝722＋×372×－352＝1114. ∵C 为三角形的内角，∴C∈(0，π)， ∴sinC＝ 1－cos2C＝ 1－11142＝5143. 在△ABC 中，由正弦定理，得sAinBC＝sAinCB，
∴AB＝ACsi·nsiBnC＝7s×in45154°3＝5 2 6.
答：山的高度约为150米。
【变式练习】
（2015·湖北高考）如图，一辆汽车在一条水平的公路上 向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西 偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD=
__1_0_0___6___m.

45

60)]
sin 45
20
2,
BD 40 40 2 . sin 45
不可到达点 A
？
B
60 45
60 30
可到达点 D
C
这样在⊿ABD中,∠BDA=60°, AD 20 2 , BD 40 2 . 由余弦定理得： AB AD2 BD2 2 AD BD cos
【解析】在 ABC 中，
CAB 30 ,ACB 75 30 45 , 根据正弦定理知，
BC AB , sin BAC sin ACB
BC AB sin BAC 600 1 300 （2 m）,
即
sin ACB
22
2
所以 CD BC tan DBC 300
BD，求△ABC的面积．
32
C
[解] 设 CD＝x，则 AD＝BD＝5－x，
在△CAD 中，由余弦定理可知：
D
cos∠CAD＝52－×x4×2＋54－2－xx2＝3321，解得 x＝1.
A
B
在△CAD 中，由正弦定理可知：sAinDC＝sin∠CDCAD，
∴sinC＝CADD· 1－cos2∠CAD＝4 1－33122＝38 7.
正弦定理得
AC

40 sin(45 60) sin[180 (30 45
60)]
40 sin105 sin 45
20(
3 1),
BC

s in[180
40 sin 45 (60 30

45)]
40 sin 45 sin 45

40.
【解析】连结A1B2.依题意知
A1B1＝20，A2 B2＝10
2，A1
A2＝
20 60

30
2＝10
2.
易知B2 A2 A1＝60，所以 A1A2B2是等边三角形，