▲单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元
有一个态不相同的情况
▲双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元
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12 i N
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一、波函数的表示；产生消灭算符
的对易关系
ai | n1n2 ni ()P ni | n1n2 1 ni
ni 0或1，i 1,2,3,
i 1
P nr r 1
a i
| n1n2
ni
()P
1 ni | n1n2 ni 1
→可取一球对称的单粒子位函数之和代替
Hˆ
Z [hˆi
i 1
U
(ri
)]
Z
i j
e2 rij
Z
U (ri ) i 1
U (ri )的选取应使二者之差可视为微扰
→中心场近似
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二、中心场近似
● 中心场近似的实质
将 Z 个具有相互作用的电子看作相互无作用
地在一个共同的中心场中运动——零级近似
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§7.3 粒子数表象
Representation of Particle Number
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一、粒子数表象的由来
●上述结论启发人们采用粒子数表象 引入粒子的产生和消灭算符 以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算
这种方法就叫做二次量子化方法
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二、粒子的真空态；产生消灭算符
●真空态定义；归一化条件
●产生算符的定义 单个粒子的状态 N个粒子的状态
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二、粒子的真空态；产生消灭算符
●消灭算符的定义 作用于真空态的效果 产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
a i
a
i
| n1n2
ni
ni | n1n2
ni
当ni 0 当ni 1
Nˆi
a i
ai
的意义——粒子数算符
总粒子数算符
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二、力学量的表示
●单粒子算符 例：单粒子动能算符 N个粒子体系的动能算符 在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
Hˆ Hˆ 0 Hˆ 2 Hˆ1
Hˆ 0
Hˆ 2
Z
hˆi
i 1
Z
[
2 2m
i2
i 1
Ze2 ri
(ri
)li
si
]
为单粒子算符之和，可分离变量求解
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二、中心场近似
● 用单粒子位代替库仑排斥力
Hˆ1的存在使得Hˆ E不能严格求解
因电子间库仑斥力具有很大的球对称成分
Hˆ 0
Z
[
2 2m
2 i
i 1
] Ze2
ri
Hˆ 1
Z e2
i j rij
rij | ri rj |
Hˆ 2
Z
(ri
)li
si
i
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一、多粒子体系的哈密顿量
●对哈密顿量的分析
Hˆ1和Hˆ 2的相对影响依赖于原子 序数
轻原子，前者重要，后者可视作微扰
重原子反之；一般原子，二者都较重要→
●态矢量的正交归一化 →产生算符与消灭算符之间的对易关系
态矢量内积；三个可能值 N=1的情况 N=2的情况
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●N个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示
态矢量表示
厄米共轭
反对易关系
利用对易关系计算
ai |1 1 1 1 0
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一、Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→
全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
●中心场近似下N个费米子体系的状态波函数
Slater行列式；写成求和形式
N个对象的排列算符； N=3的例子
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二、力学量的表示
●双粒子算符 例：两个粒子相互作用位能算符 N个粒子体系总的相互作用位能算符 在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
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二、力学量的表示
●力学量表达式的由来
要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到
第七章 二次量子化方法
２００４年１２月
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引言
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理
→因而发展了二次量子化方法 ☻ † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充
的粒子数描述状态；交换对称性自动满足
† 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符
† 任意态矢和力学量均可用它们表示
† 有系统的法则计算力学量的矩阵元
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§7.1 中心场近似
Central Field Approximation
†‡●☺☻◙◘♠♣♥♦♪♫
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一、多粒子体系的哈密顿量
●考察序数为 Z 的原子中 Z 个电子构成的体系 在非相对论近似下，哈密顿量为
零级近似哈密顿量
Hˆ 0
Z
[hˆi
U (ri )]
分离变量求解
i 1
Hˆ 0 (1,2, , N ) E (1,2, , N )
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二、中心场近似
●原子核物理中的独立粒子模型
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§7.2 N个全同粒子体系的波函数 ——零级近似波函数
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二、全同玻色子体系的波函数
●N个玻色子占有N个状态 一般表达式 N=3的例子
●N个玻色子占有m个状态 一般表达式 N=3的例子
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三、一般结论
●对称性确保满足全同性——不可分辨性
费米子体系波函数的反对称性 确保满足泡利不相容原理 ●在中心场近似下，只需知道 1、哪几个单粒子态被占有 2、每个单粒子态上有几个粒子 即可知道全同粒子体系的状态
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§7.4 粒子数表象中费米子体系 的波函数及力学量的表示
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●产生算符表示状态应与Slater行列式等价 →产生算符的对易关系
→消灭算符的对易关系
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系