二次量子化
二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。

普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。

但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。

二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。

相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。

然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。

其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。

无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。

为了描写物质埸的矢量性，物质埸
的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。

在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。

然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。

但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否
则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。

量子场论的产生是这样一个过程。

物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。

可是把诸如克莱恩－戈登之类的方程看成薛定谔方程的推广是错误的，正是当年人们这一错误认识导致了二次量子化的提出和使用，并且把量子力学称为经典力学的一次量子化。

下面我们简单分析一下。

先从经典点粒子力学说起。

经典点粒子力学的研究对象是点粒子，点粒子在空间（即位形空间）中的位置由空间坐标表示，其动力学，即其位置随时间的演化由一个或一组动力学方程所描述，方程的变量是坐标及其时间导数。

人们又发现点粒子的动力学也可以等价地通过其位置和动量来描述，一个粒子的位置和动量所构成的空间成为该粒子的相空间，粒子在位形空间中的可能轨迹等价于其相空间中的一条曲线。

二十世纪初，一些我们现在已经熟知的原因引发了量子力学革命，物理学家们发现微观世界很大程度上不能为经典相空间所描
述，因为一个粒子的位置和动量不能同时被确定，同时粒子也没有一条可在其位形空间中精确确定的轨迹，也就是说粒子在空间某一点出现只能依据一定的概率，为了正确描述微观世界的物理规律，波函数应运而生注一。

波函数，又称量子波函数，是粒子位置（或动量）的函数，它的模的平方表征粒子在某个点出现的概率，而波函数所遵循的演化方程正是薛定谔方程，基于薛定谔方程的量子力学描述也称作波动力学，经典点粒子由波动力学中的波包所代替。

现在我们可以说薛定谔方程不是一个经典动力学方程，而是描述量子力学的波动方程。

进一步研究显示薛定谔方程并不满足（从而量子力学也不满足）狭义相对论。

那么怎样才能统一量子力学和狭义相对论呢？很自然地，人们想到了推广薛定谔方程。

基于基本的狭义相对性原理，克莱恩－戈登方程第一个被发现，考虑到作为薛定谔方程的推广，其变量都使用了波函数常用的符号。

很快人们发现克莱恩－戈登方程描述的并非是某个符合狭义相对论的粒子的波函数，因为一旦如此，将会出现该粒子在某个点的概率可能为负，这显然是不对的。

如此，要找到符合狭义相对论的量子力学，必须摈弃传统的粒子概念，而把克莱恩－戈登方程的变量解释为场注二，一个在时空每个点都有取值的函数。

也就是说，克莱恩－戈登方程仅仅是一个关于场的经典动力学方程，场是这个方程的动力学量，其地位相当于经典点粒子动力学方程中的位形变量。

要将这样一个理论量子化必然要对场进行量子化，而场量子化在波动力学的框架下并不容易，反而在与波动力学等价的矩阵力学框架下容易被实现。

因此，与量子力学中点粒子波函数对应的场的
量子波函数长期为人们所忽视，反而早期将场与薛定谔方程中波函数的错误对应一直存在。

那么什么是场的量子波函数？
我们知道点粒子波函数是位形这一经典动力学量的函数，那么场的波函数也应该是场地函数。

不错，正是如此，只是场本身已经是一个时空坐标的函数，而我们通常把函数的函数叫做泛函。

那么我们说，量子场论中的波函数是场的一个泛函，它仍然满足薛定谔方程注三。

对一个经典力学系统只能进行一次量子化，一个被薛定谔方程所描述的系统已经是一个量子系统，怎么还能进行第二次量子化呢？量子力学是对经典点粒子力学的量子化，量子场论则是对经典场论的量子化，而不是对一个已被波动力学所描述的量子系统的再次量子化！这个误解（特别是把克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等当作薛定谔方程的类比拓展）至今还存在于一些教科书中不能不说是种遗憾。

注一：这里及下文我都尽量简化了说法，连量子态、希尔伯特空间、算符，对易子等等我都没有提及，但这样应该不会影响对文章的理解。

注二：这里有个细节，经典场的概念是有的，比如温度场，但克莱恩－戈登方程中的场变量其实没有经典对应，勉强说来，其经典对应可以看作是无穷多个经典谐振子（空间每个点都有一个）构成的系统。

如此看来，克莱恩－戈登方程作为一个描述经典场的动力学方程是没有意义的，它必须被量子化，那么我们更加不能说这个量子化是所谓
的二次量子化了。

另外，对于狄拉克方程和麦克斯韦尔方程我没有进行类似讨论。

注三：当然，这个薛定谔方程是以泛函形式呈现的，特别地，其中与点粒子薛定谔方程中哈密尔顿量所作用部分对应的是泛函导数和积分。

另注：数学上也许可以通过范畴间的函子构建纯粹基于希尔伯特空间的二次量子化乃至Ｎ次量子化（参看
/baez/nth_quantization.html），但我认为和物理上从量子力学到量子场论还是有区别的。