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§2 N个全同粒子体系的波函数 ——粒子数表象
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由上得知：
• Fermi子
A k1 ...kN
(q1...qN
)
• Bose子
s n1 ...nN
(q1...qN
)
1
N!
P
P P[k1 (q1)k2 (q2 )...kN (qN )]
N
ni !
i1
N!
P
P[k1 (q1)...kN (qN )]
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Slater行列式
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
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坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose子，脱离q表象，有
A k1k2
(q1, q2 )
1 2
(1
P12 )k1
(q1 ) k
2
(q2
)
1 2
[
k1
(q1
)
k
2
(q
2
)
k1
(q
2
)
k
2
(q1
)]
1 k1 (q1) k1(q2 ) 2 k 2 (q1) k 2 (q2 )
以上式知，若k1=k2,则
A k1k2
(q1, q2 )
即此种态不存在，
Pauli原理。（不能有两个全同的Fermi子处于同一个
满足[ai , ai ] 1，[ai , a j ] [ai , a j ] 0 其归一化能量本征态为
n1n2...
n1
1 !n2
!..
(a1
)n1
(a2
)n2
...
0
, (在i态上有ni个Bose子）
^
同时，为粒子数算符 ni aiai 的本征态，本征值为ni , 也为总粒子数算符的本征态，其对任一两个Bose子的交换是对称的
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一般性考虑，扩展至N个粒子的全同体系，
(q1, q2 , , qN ) 若Pij表示第i 和j粒子的交换算符，则 Pij(q1, q2 , qi q j , qN ) (q1, q2 , q j qi , qN ) Pij与描述的量子态完全一致，最多差一因子，
Pij , Pij2 2,且有，Pij2 1 2 1, 1,
为奇置换或偶置换
P
定义
1 N!
P
PP,
成为反对称化算子。
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(q1...qN
)
N
ni !
i1
N!
P
P[k1 (q1)...kN (qN )]
其中，P表示只对处于不同状态的粒子进 行对换而构成的置换。
这样表示出的波函数比较繁琐，甚至说 没必要。因为全同粒子本来无需编号，但是 要写出这样的波函数又不得不编号。
类似的有，
a n1n2...n ... n 1 n1n2...(n 1)...
a n1n2...n ... n n1n2...(n 1)...
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Fermi子体系的描述
同样地，对于Fermi子,结合Pauli 原理， 脱离表象后，
n 1, n 1...n 1... 11...1...
... ...
其中P12 为粒子1和2的交换算符。
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二、全同粒子系的坐标表象
首先考虑两个全同粒子组成的体系，
该体系以波函数 (q1, q2 )描述，q1, q2分别为两个
粒子的'全部'坐标. 当两个粒子交换时，
(q1, q2 ) P12 (q1, q2 ) (q2 , q1)
两个量子态有何不同？粒子角色对调，同一量子态
再考虑其，一个单粒子态最多只允许占据一个粒子，
... ... a a a ... 0 ,
a , a , a 分别表示各态上的粒子产生算符，
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考虑到，交换反对称性要求，
... ...
a a a ... 0 a a a ... 0
(a a a a ) ... 0
Fermi子的产生算符满足反对易关系，即为 a a a a [a , a ] 0
即， Pij有两个本征值，
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Pij (对称）; Pij (反对称）
为全同粒子系的关系式， 即，全同粒子系的交换对称性给予系统的波函数 以极大的限制。即要求对于其中的任何两个粒子的 交换, 或为，对称，或为，反对称。 [Pij , H ] 0
Pij为守恒量
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Pauli原理
设两个全同粒子组成的体系，
考虑其Hamilton 量，H h(q1) h(q2 ),
h(q)k (q) kk (q),
1.交换对称（bose子）
s k1k2
(q1, q2 )
1 2
(1
P12 )k1
(q1 ) k
2
(q 2
)
1 2
[
k1
(q1
)
k
2
(q
2
)
k1
(q
2
)
k
2
(q1
)]
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2.交换反对称性（Fermi 子）
1. 全同粒子的交换对称性 何为全同粒子？
2. 全同性与量子化的概念区别于经典
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一、多粒子体系的哈密顿量
●对哈密顿量的分析
例，氦原子中两个电子组成的体系：
2
H hˆi p12 / 2m p22 / 2m 2e2 / r1 2e2 / r2 e2 / r1 r2 i 1
交换两个电子，H显然不变，即有， [P12 , H ] 0,
但粒子态）
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推广至N个Fermi 子体系，
A k1... kN
(q1...qN
)
1 k1 (q1)
...
N! k N (q1)
... ...
k1(qN ) k N (qN )
A k1... kN
(q1...qN
)
1 N!
P
P P[k1 (q1)k2 (q2 )...kN (q N )]
其中，P表示N个粒子的某个置换，
二次量子化
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●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理 →发展了二次量子化方法
† 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充 的粒子数描述状态；交换对称性自动满足
† 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符 † 任意态矢和力学量均可用它们表示 † 有系统的法则计算力学量的矩阵元
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§1 全同粒子系的量子态描述
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●为什么要引入粒子数表象？
n1n2...nN , (粒子数表象或Fock表象）
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同样地，对于Fermi子,结合Pauli 原理， 脱离表象后，
n 1, n 1...n 1... 11...1 ...
... ...
为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产 生算符和湮灭算符
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Bose子体系
引入单粒子i态的粒子湮灭与产生算符ai , ai，