厉庄高中2012－2013学年度第一学期期中考试高二年级数学试题数 学 I一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于 ． 2．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于 ．3．函数y ＝x 2＋2x 2＋1的最小值为 ．4．在△ABC 中，已知A ＝135°，B ＝15°，c ＝2，则△ABC 中最长边的长为 ．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7}，则A ∩Z 中有 个元素．6．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝ ．7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为________．8．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是________．9．在△ABC 中，已知c ＝2a cos B ，则△ABC 是________三角形．10．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)的最小值为________．11．在数列{}n a 中，11a =， 1112n n a a -=+（2n ≥），则数列{}n a 的通项公式为n a ＝ 。

12．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为________．13．设x ，y >0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y≥m 恒成立，则实数m 的最大值为 ．14．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值时的自然数n 的值为 ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)要测量河对岸两地A ，B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求A ，B 之间的距离．16．(本题满分14分)已知函数y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围．17．(本题满分14分)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sin B cos A＝sin A cos C＋cos A sin C.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．18．(本题满分16分)已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝4，a4＝16.(1)求公比q；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，求数列{b n}的通项公式．19．(本题满分16分)某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费共计约0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算？(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)20．(本题满分16分)已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)记T n＝a n b1＋a n－1b2＋…＋a1b n，n∈N*，证明：T n＋12＝－2a n＋10b n(n∈N*)．厉庄高中2012－2013学年度第一学期期中考试高二年级数学试题第Ⅱ卷（附加题 共40分）附加题总分40分，时间用时30分钟，本大题共4道解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1．（本小题满分10分）(1)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．(2)命题“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．2．（本小题满分10分）已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且非p 是非q 的充分条件，求实数a 的取值范围．3．（本小题满分10分）已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．4．（本小题满分10分）已知前n 项和为S n 的等差数列{a n }的公差不为零，且a 2＝3，又a 4，a 5，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数对(n ，k )，使得na n ＝kS n ？若存在，求出所有正整数对(n ，k )；若不存在，请说明理由．厉庄高中2012－2013学年度第一学期期中考试高二年级数学试题数 学 I一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.答案：3∶1∶12．解析：∵三内角A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°. 答案：60°3．解析：y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，y 取到最小值2.答案：24．解析：最长边为a ，利用正弦定理及三角形内角和定理，可得a ＝c sin C ·sin A ＝2sin30°×sin135°＝2 2.答案：2 25．解析：(x －1)2<3x ＋7⇔x 2－5x －6<0⇔－1<x <6， ∴A ＝{x |－1<x <6}，∴A ∩Z ＝{0，1，2，3，4，5}， ∴A ∩Z 中有6个元素． 答案：66．解析：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即(6)2＝a 2＋(2)2－22a ·cos120°，整理得：a 2＋2a －4＝0，解得a ＝2或a ＝－22(舍)． 答案： 27．解析：先画出可行域，如图．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1x ＋y ＝1得最优解为A (1，0)．∴z max ＝5. 答案：58．解析：∵a 22＝a 1·a 5，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )． ∴d 2＝2a 1d ，而d ≠0，∴d ＝2a 1＝2.∴S 10＝10×1＋10×92×2＝100.答案：1009．解析：由余弦定理及已知条件知a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ＝c2a，∴a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2＝b 2，亦即a ＝b . 答案：等腰10．解析：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c )＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋c c)＝4＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．答案：1011．解析：由条件可得()11222n n a a --=-，即{}2n a -是以12a -＝－1为首项，公比为12的等比数列，从而2n a -＝－112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1122n n a -=-+。

答案：122n--12．解析：法一：因为a 1，a 4，a 7成等差数列， 所以a 1＋a 7＝2a 4，得a 4＝13.同理a 2＋a 8＝2a 5，得a 5＝11，从而a 6＝a 5＋(a 5－a 4)＝9，故a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27.法二：由{a n }为等差数列可知，三个数a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，且公差d ＝33－39＝－6，因而a 3＋a 6＋a 9＝33＋(－6)＝27.答案：2713．解析：1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y 4)＝14(5＋y x ＋4x y )≥14(5＋2×2)＝94，当且仅当y ＝2x ＝83时等号成立．答案：9414．解析：由题意得a 1＋2d ＝－a 1－8d ， ∴a 1＝－5d ＞0，∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－5nd ＋n （n －1）2d ＝d 2(n －112)2－1218d ，又∵d ＜0，n ∈N *，∴当n ＝5或6时，S n 取最大值． 答案：5或6二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)解：如图所示，在△ACD 中，∠CAD ＝30°， AC ＝CD ＝100 3.在△BCD 中，∠CBD ＝60°，由正弦定理，得BC ＝1003×sin75°sin60°＝200sin75°.在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝(1003)2＋(200sin75°)2－2×1003×200sin75° cos75°＝5×1002，∴AB ＝1005(米)．所以A ，B 之间的距离为1005米． 16．(本题满分14分)解：由题意可得，关于x 的不等式(k 2＋4k －5)x 2＋4(1－k )x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立． (1)当k 2＋4k －5＝0，即k ＝－5或k ＝1时，若k ＝－5，则24x ＋3>0不可能恒成立；若k ＝1，则3>0恒成立．故k ＝1.(2)当k 2＋4k －5≠0时，则应有⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋4k －5>0，[4（1－k ）]2－4×3（k 2＋4k －5）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋5）（k －1）>0，（k －1）（k －19）<0.解得1<k <19. 综上所述，实数k 的取值范围是[1，19)． 17．(本题满分14分)解：(1)法一：由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.18．(本题满分16分)解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1q ＝4a 4＝a 1q 3＝16，∴q 2＝4，又q >0， ∴q ＝2.(2)由(1)可得a n ＝2n ，∴b 3＝a 3＝8，b 5＝a 5＝32.设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝32－85－3＝12，∴b n ＝8＋(n －3)×12＝12n －28. 19．(本题满分16分)解：设使用x 年平均费用最少，由于“年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此汽车使用x 年总维修费用为0.2＋0.2x2x 万元．设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2xx ＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3，此时10x ＝x10，解得x ＝10或－10(舍去)，即当使用10年时年平均费用y 最小．即这种汽车使用10年报废最合算．20．(本题满分16分)解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1.② ②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝12（1－2n －1）1－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.第Ⅱ卷（附加题 共40分）附加题总分40分，时间用时30分钟，本大题共4道解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1．（本小题满分10分）(1)解析：将条件与结论分别否定，再交换即可． 答案：若tan α≠1，则α≠π4(2)解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又∵它的逆命题若“x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”是真命题，∴它的否命题也是真命题． 答案：42．（本小题满分10分）解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4.即2＜x ＜3.∴q ：2＜x ＜3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，∵非p ⇒非q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . 即2＜x ＜3满足2x 2－9x ＋a ＜0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0，需有⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0，f （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0.∴a ≤9.∴实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 3．（本小题满分10分）解：∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，又∵a ＞0，b ＞0，a ≠b ，∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0， ∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＞0，∴a 2b ＋b 2a ＞a ＋b . 4．（本小题满分10分）解：(1)因为a 4，a 5，a 8成等比数列，所以a 25＝a 4a 8.设数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋3d )2＝(a 2＋2d )(a 2＋6d )． 将a 2＝3代入上式化简整理得d 2＋2d ＝0，又因为d ≠0，所以d ＝－2.于是a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－2n ＋7， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋7.(2)假设存在正整数对(n ，k )，使得na n ＝kS n ，则由(1)知S n ＝n （a 1＋a n ）2＝6n －n 2.当n ＝6时，na n ＝kS n 不成立，于是k ＝na n S n ＝n （7－2n ）6n －n 2＝2n －7n －6＝2＋5n －6. 因为k 为正整数，所以n －6≤5，即n ≤11，且5被n －6整除，故当且仅当n －6＝±5，或n －6＝1时，k 为正整数． 即当n ＝1时，k ＝1；n ＝11时，k ＝3；n ＝7时，k ＝7.故存在正整数对(1，1)，(11，3)，(7，7)，使得na n ＝kS n 成立．。