所以
s4 0.295g v4 2.95g (m / s) t4 0.1
设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则
s5 0.02995 g v5 2.995g (m / s) t5 0.01
设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则
s6 0.0029995 g v6 2.9995g (m / s) t6 0.001
函数在点x0处不可导。
物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数
即在t0处的瞬时速度vt0
函数y=f(x)在x0处的导数 即曲线在x0处的切线斜率．
导数可以描述任何事物的瞬时变化率． 瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率 还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增 长率，经济学上讲的一切边际量 等．
各种情况的平均速度 △t>0 0.1 0.01 0.001 v 3.05g 3.005g 3.0005g △t<0 -0.1 -0.01 -0.001 v 2.95g 2.995g 2.9995g
当△t→0时，
物体的速度趋近于一个确定的值3g
在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于
在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度
s s t t s t v lim lim t 0 t t 0 t
例２、
y
y f ( x)
相交
o
P
x
再来一次
y f ( x)
y
Q Q Q P
再来一次
x x2x 3
Байду номын сангаас
T
o
1
x
上面我们研究了切线的斜率问题,
可以将以上的过程概括如下： 设曲线C是函数 y=f(x) 的图象， 在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点 Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
f f ( 2 x ) f ( 2) x x
f(x)=x2-7x+15
(2 x) 2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x 2 7x x
x 3
f lim (x 3) 3 所以，f (2) lim x 0 x x 0
f x0 x f x0 y lim lim x 0 x x 0 x
上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数 记作： f x0 或 y x x0 即
f x0 x f x0 y f x0 lim lim x0 x x0 x
s3 0.0030005 g v3 3.0005g (m / s) t3 0.001
例1是计算了[3，3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则 △t1=3-2.9=0.1(s) △s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g×32-0.5g×2.92 =0.295g(m)
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
f ( x0 x) f ( x0 ) 4、若极限 lim 不存在，则称 x 0 x
则直线PQ的斜率为
( y0 y) y0 y k PQ xQ xP ( x0 x) x0 x yQ yP
当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，
也即△x 变小
当△x→0时，PQ无限靠近PT 因此：
k PT lim k PQ
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
同理可得
f '(6)=5
f (2) 3
说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5
第三章 导数及其应用
3.1.2 导数的概念
平均速度不一定能反映物体在某一时刻
的运动情况。 自由落体运动中，物体在不同时刻的 速度是不一样的。 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
例1、自由落体运动的运动方程为s=
1 2 2 gt ，
计算t从3s到3.1s， 3.01s ， 3.001s 各段时间
当△t→0的极限， s g v lim lim 6 t 3g 29.4m / s t 0 t t 0 2
一般结论 设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
内的平均速度（位移的单位为m）。 解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则
△t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
s1 0.305g 3.05g (m / s) 所以 v1 t1 0.1
s2 0.03005g v2 3.005g (m / s) 同理 t2 0.01
例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等 各种不同产品，需要对原油进行冷却和加 热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃) 为f(x)=x2-7x+15 (0x 8).计算第2h和第6h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们 的意义。 解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义：
k PT lim k PQ
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
s s t t s t v lim lim t 0 t t 0 t
一般地，
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是