教学过程一、新课导入我们已经学习了平面向量的内容，本节课就把平面向量及其线性运算推广到空间向量，并运用空间向量解决立体几何问题.三、知识讲解考点1 空间向量基本知识点及运算1.向量的直角坐标运算 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++；2.设A111(,,)x y z ，B222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 3、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=. 4.夹角公式 ： 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=5．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+6．平面外一点p 到平面α的距离：已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法 向量，A 到平面α的距离为：||||AB n d n •=. 7．线线夹角θ（共面与异面）[0,90]︒︒⇔两线的方向向量12,n n →→的夹角或夹角的补角，12cos cos ,n n θ→→=<>.8．线面夹角θ[0,90]︒︒：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin cos ,AP n θ→→=<>.9．面面夹角（二面角）θ[0,180]︒︒：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量12,n n →→的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 12cos cos ,n n θ→→=±<>.BAαn四、例题精析考点1 空间几何体的结构例1 如图，在底面为直角梯形的四棱锥-P ABCD 中,//, =90,AD BC ABC ︒∠PD ⊥平面ABCD，=1, =4AD AB BC . ⑴求证：BD PC ⊥；⑵求直线AB 与平面PDC 所成的角；⑶设点E 在棱PC 上，=PE PC λ，若DE ∥平面PAB ，求λ的值.APE CDB【规范解答】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）设P D a =，则(1,3,0),(3,)B D P C a =--=--，∵330B D P C ⋅=-=，∴B D P C ⊥.（2）由（1）知B D P DCD B P D C ⊥面就是平面的法， .由条件知A （1，0，0），B （1，0），(0,3,0),(1,30)A B D B ==.设A B P D C θ与面所成角大小为，则||3s i n ||||23D B A B D B A B θ⋅==⋅. 09060,θθ︒<<︒∴=︒， 即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. （3）由（2）知C （－3，0），记P （0，0，a ），则A B =），(0,0,)D P a =，P A a =（1，0，-），P C a =--），B而P E P C λ=，所以P E a =-（，），D E D P P E D P P C λ=+=+(0,0,)()a a =+-，=3,.aa λ--）. 设n x y z =（，，）为平面PAB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩.1z x a ==取，得， 进而得,,n a =（01），由//D E P A B 平面, 得0D En ⋅=， ∴30a a a λλ+=--，10.4a λ≠∴=而， .【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例2 如图，棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都等于2， 601=∠=∠AC A ABC ，平面⊥11CC AA 平面ABCD . ⑴证明：1AA BD ⊥；⑵求二面角C AA D --1的余弦值；⑶在直线1CC 上是否存在点P ,使BP ∥平面11C DA ？若存在， 求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.【规范解答】⑴由条件知四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥. 而平面⊥11CC AA 平面ABCD ，平面11AA CC 平面ABCD AC =，所以BD ⊥平面11AA CC .又1AA ⊂平面11AA CC ，所以1AA BD ⊥. ⑵因为60ABC ∠=，ABCD 是菱形，所以1AC AB AA ==. 而160A AC ∠=，所以1A AC ∆是正三角形. 令BDAC O =，连结1A O ，则1,,BD AC OA 两两互相垂直.如图所示，分别以1,,BD AC OA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0)D ，(0,1,0)A -，13)A ，(3,1,0)DA =-，1(3,0,3)DA =，平面11AA CC 的法向量为(1,0,0)n =.设(,,)m x y z =是平面1DAA 的法向量，则1030300330m DA x y y x x z m DA x z ⎧⎧⎧⋅=-==⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨+=⋅=⎪+=⎪⎪⎩⎩⎩. 1x =，则3, 1.y z ==-即(1,3,1)m =-. 设二面角C AA D --1的平面角为θ， 则θ是锐角，并且cos cos ,11m n m n m nθ⋅====⋅⋅，因此二面角C AA D--1的余弦值为5. ⑶解：设这样的点P 存在，且1CP CC λ=，而1(0,1,0),C C ，所以(0,1)P λ+.又B，所以()BP λ=-+，1(3,2,DC =. 设(,,)k x y z =是平面11DA C 的法向量，则110200000k DC y y x z k DA ⎧⋅=+==⎧⎪⇔⇔⎨⎨+=⋅=+=⎩⎪⎩. 令1z =，则1x =-，即(1,0,1)k =-.要使BP ∥平面11C DA 当且仅当0(1)(0(1)10k BP λ⋅=⇔-⨯+⨯++=，所以1λ=-.这说明题目要求的点P 存在，实际上，延长1C C 到点P ，使得CP =1C C 即得到所求的点P .【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例3 如图，四棱锥-P ABCD中，PD'⊥底面ABCD,==2,,=45⊥∠.PD DC AD AD DC BCD︒（1）设PD的中点为M，求证：AM PBC⊥平面；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值.【规范解答】如图建立空间直角坐标系.（1）设a BC AD CD PD 222====，，则)0,2,(),0,0,1(a a B A -，)2,0,0(),0,2,0(P C ，)1,0,0(M . 设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =，则,02)2()2,2,(),,(=--+=--⋅=⋅z a y ax a a z y x PB n ，,022)2,2,0(),,(=-=-⋅=⋅z y z y x PC n令,1=z 得)1,1,1(=n . 而)1,0,1(-=AM ，所以0=⋅n AM ，即n AM ⊥，又AM ⊄平面PBC 故//AM 平面PBC . （2）)2,0,1(-=PA ，设PA 与平面PBC 所成角为α， 由直线与平面所成角的向量公式有：y1515351sin ===α. 【总结与反思】本本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.A BCDPM例4 已知四棱锥ABCD P -的底面为直角梯形,AB ∥DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,且 121====AB DC AD PA , M 是PB 的中点.(1)求AC 与PB 所成的角的余弦值； (2)求二面角P —AC —M 的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在点N , 使DN ∥平面AMC ,若存在,确定点N 位置；若不存在,说明理由.【规范解答】（1）如图建立空间直角坐标系,则A （0,0,0）、C （1,1,0）、P （0,0,1）、B （0,2,0）、M （0,1,21）, ∴)1,2,0(),0,1,1(-==PB AC ,∴510522|||||,cos |=⨯=⋅=〉〈PB AC PB AC PB AC .（2）设平面AMC 的一个法向量为),,,(z y x n =),0,1,1(=AC ),21,1,0(=AM∴021,0=+=⋅=+=⋅z y AM n y x AC n . 令1=x ,则2,1=-=z y ,∴).2,1,1(-=n ，0)0,1,1()0,1,1(=⋅-=⋅AC BC ,0)1,0,0()0,1,1(=⋅-=⋅AP BC ,BC ∴是平面PAC 的一个法向量.∴33262||||,cos ==⋅=〉〈BC n BC n BC n .∴二面角P —AC —M 的余弦值为33. （3）存在,N 为PC 中点. 设),1,1,1(-==λλPC PN则)1,,1()1,1,1()1,0,1(λλλλλ--=-+-=+=+=PC DP PN DP DN . 依题意021)2,1,1()1,,1(=-=-⋅--=⋅λλλλn DN , ∴PC PN 21,21=∴=λ, 即N 为PC 中点. . 【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例5 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是CD 、11A D 中点. （1）求证：AE BF ⊥； （2）求证：BF ⊥平面1AB E ；（3）棱1CC 上是否存在点P 使AP BF ⊥，若存在，确定点P 位置， 若不存在，说明理由.【规范解答】（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a ，则(0,0,0),A (2,0,0)B a ，1(2,0,2)B a a (,2,0)E a a ，(0,,2)F a a .1=(-2,,2),=(2,0,2),=(,2,0)BF a a a AB a a AE a a ∴.22=-2+2+0=0,BF AE a a ∴⋅BF AE ∴⊥.（2）221= - 4+4+0=0,BF AB a a ⋅11, =,BF AB AB AE A ∴⊥且1BF AB E ∴⊥平面.（3）设点(2,2,),0z 2,=(2,2,).P a a z a AP a a z ≤≤则22,= - 4+2+2=0.AP BF AP BF a a az ⊥⋅若1=,(2,2,),z a P a a a P CC ∴∴即点在中点处.【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例6 如图，直三棱柱111ABC A B C -中112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1.（1）证明：BC DC ⊥1；（2）求二面角11C BD A --的大小.【规范解答】（1）证明：在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=， 同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥. （2）解：11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥， 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H ，1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD . 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合.且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角.设AC a =，则12C O =，111230C D C O C DO ︒==⇒∠=. 既二面角11C BD A --的大小为30︒.【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.例7 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2,PA E =是PC 上的一点，2PE EC =. （1）证明：PC ⊥平面BED ;（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大 小.【规范解答】设ACBD O =,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则((2),A C P 设(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -. (1)由2PE EC =得2()33E ， 所以(22)PC =-，22(,,)33BE a =，(0,2,0)BD a =，所以2(22)(,)033PC BE a ⋅=-⋅=， (22)(0,2,0)0PC BD a ⋅=-⋅=.所以PC BE ⊥,PC BD ⊥，所以PC ⊥平面BED .（2）设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，又(0,0,2),(2,,0)AP AB a ==-，由0,0n AP n AB ⋅=⋅=得2(1,,0)n a=，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，又(2,,0),(2BC a CP ==-，由0,0m BCm CP ⋅=⋅=，得(1,m a=-，由于二面角APB C --为90，所以0m n ⋅=，解得a .所以(2,2)PD =-，平面PBC 的法向量为(1,m =-，所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为||12||||PD m PD m ⋅=⋅，所以PD 与平面PBC 所成角为6. 【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.课程小结在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数。