空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算【学习目标】1. 了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法；2. 能熟练地将直线与平面之间的距离、两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离. 【要点梳理】要点一：两点之间的距离 1. 定义连接两点的线段的长度叫作两点之间的距离.如图，已知空间中有任意两点M N ，，那么这两点间的距离d MN =. 2. 向量求法设()()111222M x y z N x y z ，，，，，，则()()()222121212d MN x x y y z z ==++ .要点二：点到直线的距离 1. 定义从直线外一点向直线引垂线，点到垂足之间线段的长度就是该点到直线的距离.如图，设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点. 过点A 作做垂直于l 的直线，垂足为A '，则AA'即为点A 到直线l 的距离. 要点诠释：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离距离． 2. 向量求法22d=PA PA s要点诠释：（1）本公式利用勾股定理推得：点A 到直线l 的距离22AA'=PA PA' ，其中PA'是PA 在s 上的射影，即为0PA s . （2）0cos PA PA =PA APA'=⨯∠ss s ，0s 为s 的单位向量，其计算公式为0=s s s. 3.计算步骤① 在直线l 上取一点P ，计算点P 与已知点A 对应的向量PA ； ② 确定直线l 的方向向量s ，并求其单位向量0=ss s； ③ 计算PA 在向量s 上的投影0PA s ； ④ 计算点A 到直线l 的距离220d=PA PA s .要点诠释：在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择. 4. 算法框图要点三：点到平面的距离 1.定义自点向平面引垂线，点到垂足间的距离的长度叫作点到平面的距离.如图，设π是垂直于向量n 的平面，AP 是平面π的一条斜线，作AA'π⊥，垂足为A'，则AA'即为点A 到平面π的距离.2.向量求法0d=AA'=PA n其中0n 为平面π的单位法向量，其计算公式为0=n n n. 3.计算步骤① 取平面π内一点P ，计算点P 与已知点A 对应的向量PA ； ② 求出平面π的一个法向量n ，并计算其单位向量0=n n n； ③ 计算0PA n ，④ 计算点A 到平面π的距离0d=AP n . 4. 算法框图要点诠释：（1）P 是平面内任意一点，可根据计算的需要灵活选择. （2）点面距还有一种重要的求法为等积转化法. 要点四：两条异面直线的距离 1. 定义两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度叫作两条异面直线的距离. 如图，已知12l l ，是两条异面直线，直线1AB l ⊥，且2AB l ⊥，垂足分别是B ，A ，则AB 即为异面直线12l l ，的距离. 2. 向量求法设n 是的12l l ，公垂线段AB 的方向向量，又C ，D 分别是12l l ，上的任意一点，则12l l ，之间的距离为0d AB CD ==n其中0n 为n 的单位向量，其计算公式为0=n n n. 要点诠释：12l l ，之间的距离也可以写成CD d=n n.3. 计算步骤① 确定直线12l l ，的公垂线段的方向向量n ，并计算与其共线同向的单位向量0=n n n； ② 取1l 上一点C ，2l 上一点D ，计算CD ；③ 由公式0d CD =n 计算异面直线12l l ，的距离.要点五：与平面平行的直线到平面的距离 1. 定义如果一条直线和一个平面平行，那么从这条直线任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度就是这条直线与这个平面间的距离.如图，已知直线l ∥平面π，点A l ∈,作AA'π⊥垂足为A'，则AA'就是直线直线l 与平面π间的距离. 2. 向量求法设n 是平面π的法向量，P 是平面π内异于A'的点，则点A 到平面π的距离为0d=AA'=PA n其中0n 为与向量n 共线同向的单位向量，即为平面π的单位法向量，其计算公式为0=n n n. 要点诠释：线面距的主旨在线上任取一点，转化为点面距. 3.计算步骤① 取直线上任一点A ，平面π内一点P ，计算点P 与点A 对应的向量PA ； ② 求出平面π的一个法向量n ，并计算与其共线同向的单位向量0=n n n； ③ 由公式0d=AP n 可得点A 到平面π的距离.要点六：两平行平面间的距离 1. 定义夹在两平行平面之间的公垂线段的长度就是这两个平行平面间的距离. 如图，已知直线l 与平面α，β，α∥β，l α⊥，l β⊥，垂足分别为A ，A'，则AA'就是平行平面α，β间的距离. 2. 向量求法设n 是平面α（或β）的法向量，点A ,P αβ∈∈，则0d=AA'=PA n其中0n 为与向量n 共线同向的单位向量，其计算公式为0=n n n. 要点诠释：面面距的主旨在转化为点面距. 3. 计算步骤① 取平面α内任一点A ，平面β内一点P ，计算点P 与点A 对应的向量PA ；② 求出平面α（或β）的一个法向量n ，并计算与其共线同向的单位向量0=n n n； ③ 由公式0d=AP n 可得平行平面α，β间的距离.【典型例题】类型一：两点之间的距离例1. 如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是1A D ，1BD 的中点，求MN 的长.【思路点拨】建系，写出点1A ，1D ，B ，D ，由中点公式写出点M N ，的坐标，即可求出MN .【答案】12【解析】如图，以D 为原点建立空间直线坐标系，则()1101A ，，，()1001D ，，，()110B ，，，由中点公式可得，11022M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，111222N ⎛⎫⎪⎝⎭，，，所以，2221111110222222MN ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .【总结升华】灵活掌握两点间的距离公式.【变式1】若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是1AD 的中点，点Q 是BD 上一点，且14DQ DB =，则P Q 、两点间的距离PQ 是_________. 【答案】6 如图建立空间直角坐标系，由题意可得，11022P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，11044Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，，则6PQ =.【变式2】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1534AB BC AA ===，，，M N ，分别是1A B ，BD 的点，且 113AM AB =，13BN BD =，求MN 的长.【答案】52 【解析】以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()1500030504B D B ，，，，，，，，， 设()()M x y z N x'y'z'，，，，，， 由113AM AB =，13BN BD =，得 5410,0,,,1,0333M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，()222510452010333MN =⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.类型二：点到直线的距离例2. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1345AB=BC=AA =，，，求点1A 到下列直线的距离：（1）直线AC ； （2）直线BD .【思路点拨】（1）1AA 即为所求；（2）建系，利用向量坐标计算，确定直线BD 的一个方向向量，代入公式求解．【解析】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，显然1AA ⊥AC ， 所以1AA ＝5即为所求点1A 到直线AC 的距离． (2)如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则有B (4，3，0)，1A (4，0，5)．DB ＝(4，3，0)，1DA ＝(4，0，5)，1DA DB DB＝165，则点1A 到直线BD 的距离为21125676941-252DA DB d=DA ==DB. 【总结升华】本题（1）利用基本定义直接求解距离，（2）利用向量方法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解．【变式】如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD . 若341AB AD PA ===，，，则点P 到BD 的距离为________.【答案】135类型三：点到平面的距离高清栏目401043空间角与空间距离例4例3.如图，已知ABCD 是矩形，AB a AD b ==，，PA ⊥平面ABCD ，2PA c =，Q 是PA 的中点，求：（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离.【思路点拨】【答案】（1）22222a b c a b ++；（2）222222a b +a c b c+ 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系， 则B （a ，0，0），D （0，b ，0），Q (0，0，c)，P （0，0，2c ）.（1）()()-,0-,0BD a b BQ a c ==，，，， 则Q 到BD 的距离为： 22222222222-2BQ BD a a b BQ =a c c a b BD a b ⎛⎫⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .（2）设平面BQD 的法向量为n ，则 0,0.BD ax by BQ ax cz ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩n n 令1x =，则a a y=z=b c，.所以平面BQD 的一个法向量为1a a =b c ⎛⎫⎪⎝⎭n ，，，由于()02PB=a c ，， ， 所以点P 到平面BQD 的距离为222221PB a a d===a ab c +++n n222222a b +a c b c+方法二：设点A 到平面BQD 的距离为h ， 由——A BQD Q ABD V V =，得 1133BQD ABD S h S AQ ∆∆=， 所以222222ABD BQD S AQ h =S a b +a c b c∆∆=+.【总结升华】求点面距离时，常用间接求法，主要有两种：一是利用空间向量，二是利用等积法转化.【变式1】如图，已知三棱柱111—A B C ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱1A A 与AB 、AC 均成45︒角，且11A E B B ⊥于E ，11A F CC ⊥于F ，求点A 到平面11B BCC 的距离.【答案】1过1A 作1A N EF ⊥，则N 为EF 中点，且1A N ⊥平面11BCC B .即1A N 为点1A 到平面11BCC B 的距离，也就是点A 到平面11B BCC 的距离. 在Rt △1A EF 中， 211A E A F =EF =2，∴A 1E=22a ∴△1A EF 为等腰直角三角形，∠190EA F ∠=︒ ∴1A N =1.【变式2】如图，若平面PAD ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=︒，且2PA=AD =，E F 、分别是PA PD 、的中点，点Q 在线段CD 上，当CQ =_______时，A 到平面EFQ 的距离为45.【答案】23类型四：两条异面直线的距离例4. 如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 为四边长为1的菱形，4ABC π∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，求异面直线AB 与MD 的距离.【思路点拨】在直线CE 和1AB 上分别取点,C A ，得到向量CA ；再确定CE 和1AB 的公垂线的方向向量n ，由公式||||CA n d n =求得距离. 【答案】 【解析】【总结升华】求异面直线之间距离，最直观的做法是借助图形性质，直接找出该公垂线，然后求解。